ベクトル解析の面積分に関する問題です。

質問

ベクトル解析の面積分に関する問題です。
http://imagepot.net/view/126837906749.gif
いまいち分からないのでヒントでも良いのでおしえてください。

回答No.2

apollonius

まず、質問者さんの途中までの解答ですが、法線ベクトルの向きが間違っています。
公式のベクトルｎは、面で囲まれる領域の中から外に向かうベクトルでないといけないので、例えばx=0平面の法線ベクトルは n=(-1, 0, 0) となります。同様に、y=0平面の法線ベクトルは n=(0, -1, 0), z=0平面の法線ベクトルは n=(0, 0, -1) となります。よって、x=0平面上で積分した結果は (0, 0, 0), y=0平面上で積分した結果は (32/3, 0, -32/3), z=0平面上で積分した結果は (-4/3, -8/3, 0) となります。

さて、2x+2y+z=4 平面上での積分ですが、いま簡単のためこの平面をπと呼ぶことにしましょう。平面π上の点の位置ベクトルUは(ベクトルに矢印を付けることができないので、以後ベクトルは大文字で書くものとします)、
　U=(x, y, 4-2x-2y)
と書くことができるので、上のベクトルを変数x、yでそれぞれ偏微分して、
　∂U/∂x=(1, 0, -2),　　∂U/∂y=(0, 1, -2)
よって、面積要素ベクトルは、
　dS=(∂U/∂x)×(∂U/∂y)=(2, 2, 1)　（×は外積)
となり、その大きさは、
　ds=|dS|=√(2^2+2^2+1^2)=√9=3
となります。よって、外向きの単位法線ベクトルは、
　N=dS/ds=(2/3, 2/3, 1/3)
一方、A=(2x^2-3z, -2xy, -4x) に z=4-2x-2y を代入して、
　A=(2x^2+6x+6y-12, -2xy, -4x)
となるので、
　N×A=((1/3)(-8x+2xy), (1/3)(14x+2x^2+6y-12), (1/3)(-4xy-4x^2-12x-12y+24))
よって、
　∬(N×A)ds
　=∬(N×A)|dS|dxdy
　=3∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx(N×A)　([]内は積分範囲を示す)
　=3∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx((1/3)(-8x+2xy), (1/3)(14x+2x^2+6y-12), (1/3)(-4xy-4x^2-12x-12y+24))
　=∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx(-8x+2xy, 14x+2x^2+6y-12, -4xy-4x^2-12x-12y+24)
　=2∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx(-4x+xy, 7x+x^2+3y-6, -2xy-2x^2-6x-6y+12)

あとは、各成分について積分するだけです。例えば、x成分について積分すると、
　2∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx(-4x+xy)
　=2∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx(y-4)x
　=2∫[0～2]dy(1/2)(y-4)(2-y)^2
　=∫[0～2]dy(y-4)(y-2)^2
　=[(1/3)(y-4)(y-2)^3][0～2]-(1/3)∫[0～2](y-2)^3 dy　(部分積分した)
　=[0-(1/3)(-4)(-2)^3]-[(1/12)(y-2)^4][0～2]
　=-32/3-[0-(1/12)(-2)^4]
　=-32/3+16/12
　=-32/3+4/3
　=-28/3
となります。よって、x成分だけ全ての面について足し合わせると、
　0+32/3-4/3-28/3=0
となります。

y成分についての積分は、結果だけ書くと、
　2∫[0～2]dy∫[0～2-y]dx(7x+x^2+3y-6)
　=16/3
よって、y成分だけ全ての面について足し合わせると、
　0+0-8/3+16/3=8/3

上記の結果が正しいかどうかは、もとの体積積分 ∫∫∫(∇×A)dV を直接計算してみればわかります。
　∇×A=(0,1,-2y)
なので、x成分については計算するまでもなく0となることがわかり、先の計算と一致します。また、y成分については、
　∫∫∫(∇×A)dV
　=∫[0～4]dz∫[0～2-(z/2)]dy∫[0～2-y-(z/2)]dx 1
　=∫[0～4]dz∫[0～2-(z/2)]dy(2-y-(z/2))
　=∫[0～4]dz∫[0～2-(z/2)]dy((2-(z/2))-y)
　=∫[0～4]dz((2-(z/2))^2-(1/2)(2-(z/2))^2)
　=∫[0～4]dz(1/2)(2-(z/2))^2
　=(-1/3)[(2-(z/2))^3][0～4]
　=(-1/3)[(2-(4/2))^3-(2-(0/2))^3]
　=(-1/3)[0-2^3]
　=8/3
となり、先に面積分で計算した結果と一致します。
z成分についても同様です。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%9D%A2%E7%A9%8D%E5%88%86

回答No.1

bibendumbibendum

ベクトルの外積と内積を間違えていませんか。
普通公式として載っているのは×を内積に置き換えたガウスの定理なのですが。
平面の垂線と内積をとって、面積をかけて、足す
というのがよく有る計算です。

添付のような公式があったのならすみません。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/ガウスの定理

補足

ご回答ありがとうございます。
(1)でガウスの定理の問題が出題され、(2)でこの問題のような公式が与えられ、教科書やネットなどを探しても例題などが見つからず、質問させていただきました。