数列？！

質問

多くの無限長の式とは違い、次の式√6+√6+√6+....
は有限の値を持ちます。それは次のうちのどれ？
3,π,√10,22/7,6
補足：最初のルートは√￣￣￣￣￣￣￣のように無限の長さになっていて一
番外側のルートであり、その次のルート（これも無限の長さを持つ）はその
内側に入ります。つまりめちゃくちゃ長い√の中にめちゃくちゃ長い√が次々差し込まれている状態を繰り返します。
一般項を設定して無限大にとばす、というような手法を使うのでしょうか？
解法の方針が立ちません。。
この問題が分かる方宜しくお願いします！

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

x=√(6+√(6+√(6+....)))
x^2=6+√(6+√(6+....))=6+x
x^2-x-6=0
(x+2)(x-3)=0
x>0 なので
x=3

お礼

なるほど！結構簡単な問題だったんですね（＾＾;）
でも気がつきませんでした。
ありがとうございました！

回答No.4

Oxia

答えを求めるのなら、
x = √(6+√(6+√(6+・・・)))
とおいて、
x^2 - x = 6 (x＞0)
から、x = 3と求められます。
ところで、似たようなものに、
√(1+√(1+√(1+・・・)))
というものがあり、これは答えが
(1+√5)/2
と黄金比になります。
意外なところに、美しさが見つかるものです。

補足

数学っておもしろいですよね（＾＾）

回答No.3

alice_44

No.2補足の答案は、No.1と同一の内容です。
方程式の未知数を x と書いたか α と書いたか
だけしか違いません。

「Xn→α と収束するとすると」と
収束性を仮定するのではなしに、
lim X[n] が収束することを示しておくべきだ
…言ったのです。

X[n] ≦ 3 であれば
X[n+1] = √(6+X[n]) ≦ √(6+3) = 3 ですから、
数学的帰納法により、数列 X[n] は
上界 3 を持ち、上に有界です。

また、
X[n+1] = √(6+√(6+…√(6+√6))) ＞ √(6+√(6+…√(6+√0))) = X[n]
なので、X[n] は、単調増加数列です。

「上有界な単調増加列は収束する」という定理を
ボルツァノ・ワイエルシュトラスの定理 と言います。
解析学の教科書の最初のほうに
たいてい載っていますから、読んでみて下さい。

お礼

勉強になります！
もう少し考えてみます！
ありがとうございました！

回答No.2

alice_44

値の算出は No.1 のようでよいのですが、
その計算が空論でないことを保証するために、
√(6+√(6+√(6+… という式が値を持つことを
示しておかねば、意味がありません。

x[1] = √6,
x[2] = √(6+√6),
x[3] = √(6+√(6+√6)),
…
という数列を考えると、この数列は、
上に有界な単調増加列であることから、
収束することが示せます。

これを示した後では、No.1 のように計算してよい。
貴方の言うように、一旦は、部分列の極限を
考える必要があります。

補足

＞上に有界な単調増加列であることから、収束することが示せます
どのように示せばいいですか？もし良かったら教えてもらえませんか？
以下は自分のめちゃくちゃな示し方です（><）
X1=√6
Xn+1=√(6＋Xn)
n→∞としたとき、Xn+1→α、Xn→α　（α>=0）に収束するとすると、
α＝√(6＋α)
両辺二乗して
α^2=6＋α
α^2-α-6=0
(α-3)(α＋2)＝0
α=3 （∵α>=0）
よってXnはXn<=3であり上に有界であり....