円の面積と和の極限

質問

円を図のようにn個の環状に分け、各環の幅Δrとする。
半径r(i)の円と半径r(i+1)=r(i)+Δrの円とのあいだの環の面積をS(i)とすると
2πr(i)Δr<S(i)<2πr(i+1)Δr　であるから・・・、と本には書いてありました。2πr(i)Δrは半径r(i)の円周かける環の幅なので、図の緑斜線部がその一部を表していると思いました。
おなじように考えると、オレンジ斜線部が2πr(i+1)Δrの一部を表し、S(i)の一部がなくなってしまいました。
じぶん考え(図)の間違いを訂正して、不等式の各辺がどこを表しているのか教えてください。おねがいします。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

半径r(i)の円と半径r(i+1)=r(i)+Δrの円とのあいだの環の面積をS(i)としたのだからS(i)は図のオレンジ斜線部です。
2πr(i+1)Δrは半径r(i+1)の円周かける環の幅ですが，これはオレンジ斜線部よりも大きいですね。なぜかといえば，かけたものは長方形の面積であり，オレンジ斜線部はその長方形を内側に曲げて押しつぶしたものになってるからです。
同様に2πr(i)Δrは半径r(i)の円周かける環の幅ですが，これはオレンジ斜線部よりも小さいですね。なぜかといえば，かけたものは長方形の面積であり，オレンジ斜線部はその長方形を外側に曲げて広げたものになってるからです。

お礼

S(i)が下底2πr(i+1)上底2πr(i)高さΔrの台形のように思えました。
長方形というヒントありがとうございます。

回答No.3

178-tall

No.2 への蛇足です。

>2πr(i)Δrは半径r(i)の円周かける環の幅なので、図の緑斜線部がその一部を表していると思いました。
　　　↑　細かくいえば、
2πr(i)Δr は、図のブルー斜線部の面積を超え、オレンジ斜線部の面積未満の値 … なのでは？

お礼

きちっと円(環)を描いて考えてみようとおもいます。お返事ありがとうございます。

回答No.2

178-tall

>2πr(i)Δrは半径r(i)の円周かける環の幅なので、図の緑斜線部がその一部を表していると思いました。
　　　↑
2πr(i)Δr は、図のオレンジ斜線部の面積 S(i) の「真部分」値 … なのでは？

>おなじように考えると、オレンジ斜線部が2πr(i+1)Δrの一部を表し、S(i)の一部がなくなってしまいました。
　　　↑
2πr(i+1)Δr は、オレンジ斜線部の面積を超える面積値、… なのでは？

お礼

まず、真部分値から調べようと思います。お返事ありがとうございます。