「整数aと整数bが互いに素」とは？

質問

「整数aと整数bが互いに素」とは、いったいどういうことを意味するのでしょうか？

回答No.3

techbrain · ベストアンサー

【結論】
最大公約数が1であるとき、二つの整数は互いに素であるという。
【補足】
最大公約数(GCD：Greatest Common Divisor)とは、0ではない二つの整数に共通する約数のうち最大値をとるものを指します。
数学上では、二つの整数 a, b に対して、その最大公約数を『gcd(a, b)』と表記することが多い。
但し、一方が0である場合、gcd(a, 0)＝a として、最大公約数を決めるものとします。
【性質】
ユークリッドの互除法などにより、互いに素な二つの整数 x, y に対して、ax＋by＝1 を満たす整数 a, b が存在することは保証される。
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まあ、要は「整数aと整数bが互いに素」とは『整数aと整数bの最大公約数が1である』ということを意味しています。
それ以上でもそれ以下でもありません。

こんな回答で良かったのでしょうか？元予備校講師的には、通常これ以上は説明不要である、と考えているのですが、一方、環やイデアルと言った論点の参考にするには、あまりにも足りません。
その辺は何卒ご了承下さい。m(_ _)m

参考URLは百科事典ウィキペディア(Wikipedia)の整数のページです。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0

お礼

非常に詳しい解説ありがとうございます！！
すっきりしました☆

ある大学の整数問題(整数係数n次方程式の有理数解)を解いていて、「一方が０のときはどう扱うのだろう．．．」と思い詰まっていたのです。gcd(a, 0)＝aとするのですね☆

これで気になっていた問題が全て解けます。ありがとうございました！

回答No.2

u-u2

素数というものがあります。素数とは、約数が１と、その数自身しかない数のことです。

例えば、２は、２と１でしか割る(÷)ことができません。３は、１と３でしか割ることができません。ですから、２や３は素数であると言えます。７や13や11なども同様です。
蛇足になりますが、有名なひっかけ問題に91があります。一見、素数のようですが、91は１と91、さらに７と13でも割れるので、素数ではありません。

さて、質問の回答になりますが、互いに素の「素」は素数のことです。つまり、「整数aと整数bが互いに素」とは、aもbも素数であるという意味です。

回答No.1

FLA-SE

互いに素とは、公約数が1のみであることです。

整数aの約数が整数bの約数ではなければ互いに素となるわけです。

具体的には
6の約数は2と3と6ですね。
13は2と3と6のどれでも割れないので、約数が重なりません。
この場合6と13は「互いに素」となります。

お礼

ありがとうございます！！
でも、6と13の約数には－1もありますよね？
「公約数が1のみ」という定義に反すると思うのですが．．．