Duhamelの重畳積分法とはなんですか？

質問

ある制御系の論文でDuhamelの重畳積分法というのが出てきたのですがどんなものなのか全く解りません。
どういう積分法なのか？また、数値積分法とはどうちがうのか？説明していただけないでしょうか。

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に

Duhamelの重畳積分法というのは、時間的な畳み込み積分法のことです。ラプラス変換で系のインパルス応答を計算する際に使うものですね。単に畳み込み積分といっていますね。Duhamel積分？「はてどこかで聞いたような」という感じでしたね。

x(t)を時間応答とすると、
x(t)～f(0)g(0)+Σ[τ=Δτ→ｔ]{Δf(τ)/Δτ}g(t-τ)Δτ
Δτ→0
x(t)=f(0)g(0)+∫[0→ｔ]f'(τ)g(t-τ)dτ
これがDuhamelの積分法と呼ばれるものですね。

一般的には変形して、
x(t)～Σ[τ=Δτ→ｔ]f(τ)ｈ(t-τ)Δτ
x(t)=f(t)*h(t)=∫[0→ｔ]f(τ)ｈ(t-τ)Δτ
=∫[0→ｔ]f(t-τ)ｈ(τ)Δτ
のような形式ですね。
{詳しくは古いラプラス変換などの書籍にあります。}
追伸：
数値積分は一般的な積分法ですね。

回答No.3

grothendieck

私が見つけた参考書を挙げます。
　クーラン・ヒルベルト　数理物理学の方法３　(東京図書)　p.178
　L. シュワルツ　物理数学の方法　(岩波書店)　p.136

時間微分について１階の線形微分演算子をL(∂)として
　L(∂)u(x,t) = 0, u(0,t) = v(t)
を解く時、
　L(∂)G(x,t) = 0, G(0,t) = δ(t)
を満たすグリーン関数Gを用いて
　u(x,t) = ∫[0→∞]G(x,t-τ)v(τ)dτ
とすれば上の方程式と境界条件が満たされるということでいいのでしょうか。

参考URL：

http://www.medizinische-kybernetik.de/methods/duhamel.html

回答No.2

grothendieck

始めにお断りしておきますが、私はこの分野に素人です。一緒に考えさせて頂きたいということで回答します。線形編微分方程式で同次初期条件と、境界条件がu(0,t)=v(t)で与えられる場合を考えます。まず、境界条件が階段関数S(t)である場合の解をu1(x,t)とします。一般の境界条件v(t)に対しては時間幅がΔτのN個のパルスに分割して考えます。するとi番目のパルスv(τi)に対応する解は
　v(τi)[u1(x,t-τi)-u1(x,t-τi-Δτ)]
となりますから全体の解は、
　u(x,t)=Σv(τi)[u1(x,t-τi)-u1(x,t-τi-Δτ)]
で近似できます。Δτ→0とすると
　u(x,t)=∫v(τ)[-∂u1(x,t-τ)/∂τ]dτ
と表わせます。このように偏微分方程式の解をたたみ込みとして表わす方法をDuhamelの原理と呼ぶようです。