以下の関数R~2における極値を考察せよ。という問題で、、、

質問

以下の関数R~2における極値を考察せよ。
Z=x~2+2xy－2x－4y＋8

という問題なのですが、どうやって解いたら良いかわかりません。
途中式も書いてもらえると助かります。
よろしくお願いします。

回答No.2

alice_44

微分するのは、本末転倒かも知れません。
(一階微分)=0 を解くのは、
関数を級数展開の二次項で近似できる点(停留点)
を探すためですが、
問題の関数は、もともと二次関数ですからね。

p = x+a, q = y+b と置いて z の式へ代入、
括弧を展開してみると、
a = -1/2, b = -2 のとき 一次項が 0 になって、
z = p~2+2pq+(23/4) と変形できます。
平方完成して、z = (p+q)~2-q~2+(23/4) です。

これが一葉双曲面であることが解れば、
p+q = q = 0 に唯一の停留点を持ち、
それが鞍点であることが解るでしょう。
すなわち、極値は無し。

回答No.1

info22_

解き方は次のURLに詳しく書いてありますのでお読みください。
http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/101ksk.html
上を参考に考察すれば極値が存在しないことが分かるでしょう。

解き方のポイントだけ。
Zx=∂Z/∂x=0
Zy=∂Z/∂y=0
から連立方程式ができる。
それを解けはすべての停留点((2,-1)の１個だけ）が求められる。
その停留点で
Zxx(2,-1)=2>0,D=(Zxy^2-ZxxZyy)(2,-1)=4>0
なので停留点でのZ(2,-1)は極値ではない。
→　鞍点（鞍型点）
ゆえに、Zは極値を持たないといえる。