商の積の係数を求める方法

質問

1 / (S * (S+3))という式を a/S + b/(S+3)という式にする計算に関して質問です。

iTunesで海外の数学の講義を聞いていると以下のように解いてました。

(1) 分母のSを隠して、S+3の部分のSに0を入れる. aは1/3と求まる。
(2) 分母のS+3を隠して、S=-3とする. bは-1/3と求まる。

確かにこれでa,bが求まるようです。

これは何という名前の解き方なのでしょうか?

また、2/((S+1)*(S+4)) の式で上のやり方をしたのですが、失敗しました。
手順(2)の部分の-1/3とするのは、1/3に対して0にするということだと
理解していますが
間違いなのでしょうか?

回答No.4

kabaokaba · ベストアンサー

講義なんだからきっと連続してるんでしょう
んで，最初の方にやり方を説明してる回があれば
それ以降は単なる計算術だからある意味適当に
「隠してー」とかってざっくりやるのは当然かも．

それにしても面白い考え方だなあ，
ローラン展開＋留数でやるのかあ，けど「迂遠」かも・・・
名前まであるとは知らなかった．

1/(s(s+3)) = a/s + b/(s+3)
かな．これの左辺をs=0でローラン展開すると
結局 1/(s+3)の展開
1/3 Σ (s/3)^k
を考えれば
1/3 1/s (1+s/3+s^2/3^2+・・・) = a/s + b(s+3)
1/3 (1/s + 1/3 + s/3^2 + ・・・) = a/s + b/(s+3)
ローラン展開の一意性というか・・・留数を考えれば
a=1/3
となる．で，「sを隠してs=0を代入する」ってのは
留数を計算するときの常套手段ですな
f(s)でs=aが一位の極であるときの留数ってのは
lim_{s->a} (s-a)f(s)
という形で計算されるわけだから
1/(s(s+3)) = a/s + b/(s+3)
で「sを隠す」ってのは s を掛け算することに相当するわけで
実際，sを掛け算すると
1/(s+3) = a + bs/(s+3)
ここでs=0を代入するってのは，s->0としてるわけで
1/3 = a
ってなる・・・
s+3についても同様・・・・

なんだけど・・・・これってNo.1さんのご指摘のように
そんなことローラン展開とか考える必要あるの？？
そもそもの「講義」もそんな流れなの？

恒等式
1/(s(s+3)) = a/s + b/(s+3)
を満たすaとbを求めよってことなんだから
高校一年生の数学Aあたりかな．

両辺にsをかけて分母を払えば
1/(s+3) = a + bs/(s+3)
s=0を代入して a=1/3
両辺にs+3をかけて
1/s = a(s+3)/s + b
s=-3を代入して，b=-1/3
ってだけでしょう．
＃高校数学だと「恒等式の代入法」とかいうはず．

「隠す」というのは「足し算の項があるんだけども
0になるように最後に代入するから最初から見ない」
ということを理解した上で，やってる計算術なんじゃないかな．

2/((s+1)(s+4))= a/(s+1) + b/(s+4)
についても同じ
s+1を隠せば
2/(s+4) = a （本当は=ではない）
s=-1を代入して
2/3 = a
＃本当は分母s+1を払って 2/(s+4) = a + b(s+1)/(s+4)
＃にs=-1を代入．けど0にするんだから「みない」
s+4を隠せば
2/(s+1) = b
s=-4を代入して，b=-3/2
つまり
No.2さんと同じ．

お礼

詳細な説明ありがとうございました。

下の失敗した方も、きちんと理解してなかったので失敗していたことがわかりました。

回答No.5

alice_44

確かに。
1/((x-a)(x-b)) を展開するだけなら、
迂遠なだけですね。
ローラン展開が役に立つのは、
積表示の分母が平方以上の因子を持つ場合です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

alice_44

「隠して」は、ひどいなあ。
それじゃ、数学ではなくて、計算術です。

結果的にそう見えるというだけのことですよ。
講義の英語が、よく解らなかったのかな？

やり方の名前は知りませんが、それは、
両辺をローラン展開しているのです。たぶん。
右辺は、1/(s+3) をマクローリン展開してから
1/s を掛ければ、s=0 中心にローラン展開されます。
左辺は、a/s がローラン展開の主要部で、
b/(s+3) は s=0 で正則ですね。
両辺の主要部を比較すれば、a が求まります。

二つめの例で貴方が失敗したのは、
やり方を理解せずに、単純に「隠して」しまった
からでしょう。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

info22_

>これは何という名前の解き方なのでしょうか?
ヘビサイド（へヴィサイド）の（展開）定理を使った部分分数展開法の解き方。留数定理での部分分数展開法としても知られている。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%98%E3%83%B4%E3%82%A3%E3%82%B5%E3%82%A4%E3%83%89%E3%81%AE%E5%AE%9A%E7%90%86
http://okawa-denshi.jp/techdoc/2-1-8Ryusu.htm
http://150.19.250.13/MULTIMEDIA/complex/node39.html

>また、2/((S+1)*(S+4)) の式で上のやり方をしたのですが、失敗しました。
別に失敗しませんよ。計算を間違えたのでは？
(2/3)(1/(s+1))-(2/3)(1/(s+4))

>手順(2)の部分の-1/3とするのは、1/3に対して0にするということだと
どこか書いていることは、前にやったことと違っていませんか？

お礼

様々なリンクありがとうございました。

失敗した方はあらためて計算方法を理解した上でやり直してみます。

回答No.1

koko_u_u

>これは何という名前の解き方なのでしょうか?

さあ？
単純に両辺にSを掛けたり、S+3を掛けてから代入するほうがずっと良いでしょう。