自然数の集合と正の有理数の集合が対等か否かを判定してください

質問

対等だということはわかるのですが、
問題の回答として、きれいに証明する方法がよくわかりません。
ご教授よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

#2 でもいわれてますが, 「ジグザグ」のところを適当な写像で与えてしまえば OK. 既約であるものだけを考えるとむしろ面倒で, 全て数えてしまえば簡単です.
ちなみに「濃度が等しい」ことを「対等」っていう＞#2. 記号だと N～Q とか書いたりします.

回答No.2

alice_44

口語的であることを嫌うなら、まず、
「対等」という余りにも口語的な表現を
どうにかしよう。

これを「等濃度」と書き換えようとすれば、
「濃度」の定義を確認せざるを得ず、
自然と、証明の流れが見えてくる。

「等濃度」を定義するには、通常は、
集合 A の部分集合と集合 B の間に
全単射が存在することを
「A の濃度は B の濃度以上」と定義し、
A の濃度が B の濃度以上かつ以下であることを
「A と B は等濃度」とする。

してみると、自然数と正の有理数が等濃度
であることを示すには、
自然から正の有理数への全射と単射が、それぞれ
存在することを挙げればよい。
その全射と単射が、ひとつの全単射である必要
はなく、別々の写像であってよい。

だから、有理数に付番するとき、
既約分数に限らなくても、分子と分母の対を
皆数えてしまえばよい。
そうすることで、「ジグザグ」の箇所が
簡潔に言い表せるようになる。

自然数が有理数に含まれる
ほうの話は、自明だから。

回答No.1

Tacosan

単純に考えると「有理数の方が多い」という結論になりそうなものですが, なぜ「対等だということがわかる」のですか? 言葉で説明してみてください.

補足

有理数は整数/整数のうち既約のもので取り尽くせるので、
縦軸と横軸に正の自然数を入れたマトリックスを作り、
左上からジグザグに進んでいけば
全ての正の有理数を自然数に１：１対応させることができます。
よって自然数の集合と正の有理数は対等であるとわかるのですが、
この証明だとちょっと口語的？な気がしてしまって・・