図形上動く点の問題について

質問

高校受験の過去問題に出題されているのですが、
解き方がわかりません。
四角形の場合は　わかりますが、平行四辺形になると、
解き方が生み出せません。　ご教授よろしくお願いします。

図形画像付き問題はこちら↓　http://webtest2009.web.fc2.com/mathematics/mathematics_1.html

【問題】
AB＝8cm　AD＝12cm　∠BAD＝150°の平行四辺形ABCDにおいて、
2点P，Qは毎秒2cmの速さで同時に点Aを出発し、点Pは点Aから点Bを通って点Cまで，
点Qは点Aから点Dを通って点Cまで動く。

（1）このとき　x秒後の△APQの面積を解答欄の場合分けにしたがって求めなさい。

【解答欄】
0＜x≦4　のとき
4＜x≦6　のとき
6＜x＜10　のとき

（2）△APQの面積が16平方センチメートルのとき　xを求めなさい。

回答No.5

debut

６＜ｘ＜10のときを、中学生がするかどうかは別として、引き算
を使わない方法はないわけではありません。

６＜ｘ＜10のとき、ＢＰ＝2x-8、Ｃ Ｐ＝20-2x、Ｄ Ｑ＝2x-12、
Ｃ Ｑ＝20-2x

ＡＰ//ＥＣ となる点ＥをＡＤ上にとると、ＡＥ＝Ｃ Ｐ＝20-2x
だから、ＥＤ＝12-(20-2x)=2x-8
ＥＣ//ＦＱとなる点ＦをＡＤ上にとると、△ＤＣ Ｅ∽△ＤＱＦ
から、Ｄ Ｑ：Ｃ Ｑ＝ＤＥ：ＦＥ、つまり、点ＦはＥＤの2x-8を
(2x-12)：(20-2x)→(x-6)：(10-x)の比に分ける点といえます。
ＥＦは2x-8を(x-6)：(10-x)の比に分けたときの比10-xの方なので
ＥＦ＝(2x-8)×(10-x)/{(x-6)+(10-x)}
　　＝(2x-8)(10-x)/4
　　＝(x-4)(10-x)/２
すると、ＡＦ＝ＡＥ＋ＥＦ＝(20-2x)+(x-4)(10-x)/２＝-(1/2)x^2+5x

△ＡＰＱの面積はＡＰ//ＦＱなので、△ＡＰＦの面積と等しくなり
(1/2)×ＡＦ×高さの４、で求められます。

お礼

ご回答ありがとうございます。
引き算を使って解く方法がわかりました。

ＱＤ＝２ｘ－１２
ＱＣ＝ＰＣ＝８－（２ｘ－１２）
ＰＢ＝２ｘ－８
これらのことから
△ＡＢＰ＝　　　　　
△ＡＱＤ＝　　　　　
△ＰＣＱ＝
∴△ＡＰＱ＝平行四辺形ＡＢＣＤ－（△ＡＢＰ＋△ＡＱＤ＋△ＰＣＱ）

x＝　7秒後、8秒後、9秒後、
の△ABPの面積までは　わかっていたので
△ＡＱＤ＝(1/2)（１２）(２ｘ－１２）/２＝６（ｘ－６）
△ＰＣＱ＝(1/4)(２０－２ｘ）^2＝（１０－ｘ）^2
を検証。
答え＝－ｘ^2＋１０ｘ

ですね！

回答No.4

gohtraw

(1)0＜x≦4　のとき
　ＰはＡＢ上にありＡＰ＝２ｘ、ＱはＡＤ上にありＡＱ＝２ｘです。
従って△ＡＰＱの面積は２ｘ＊２ｘｓｉｎ１５０°／２です。
(2)4＜x≦6　のとき
　ＰはＢＣ上にあり、ＱはＡＤ上にあり、ＡＱ＝２ｘです。従って△ＡＰＱの面積は２ｘ＊８ｓｉｎ１５０°／２です。
(3) 6＜x＜10　のとき
　ＰはＢＣ上にあり、ＢＰ＝２（ｘ－４）です。ＱはＤＣ上にあり、ＤＱ＝２（ｘ－６）です。△ＡＰＱは平行四辺形から三つの三角形を除いたものになります。平行四辺形の面積は４８、△ＡＢＰの面積は２（ｘ－４）＊８ｓｉｎ１５０°／２、△ＡＤＱは１２＊２（ｘ－６）ｓｉｎ１５０°／２、△ＰＱＣは（２０－２ｘ）＊（２０－２ｘ）＊ｓｉｎ１５０°／２です。

　面積の計算がなぜこうなるかは考えてみて下さい。また、計算はご自分でどうぞ。

（２）は上記の各場合について△ＡＰＱの面積＝１６とおいてｘについて解けばＯＫです。得られた解が条件（ｘの範囲）を満たすかどうか確認することをお忘れなく。

補足

ご回答ありがとうございます。
中学生なので、提示いただいた計算方法は
わかりませんでした。

回答No.3

DIooggooID

ＡＱ　を底辺として三角形を考えてください。

底辺　ＡＱ　に対する　高さは、　ＡＰ　÷　２　に等しくなります。

　∵　３０度、６０度、９０度　の角度の三角形の辺の比は、
　　　　１　：　２　：　√３　

0＜x≦4　のとき　は、　ＡＰ／２　が高さ
4＜x≦6　のとき　は、　ＡＢ／２　が高さ

6＜x＜10　のとき は、特殊で、
□ＡＢＣＤ　の　面積から、　△ＡＢＰ　と　△ＡＤＱ　、△ＰＱＣ
の　三つの三角形の面積を引き算しましょう。

お礼

＞三つの三角形の面積を引き算しましょう。

やはり引き算するのですね・・
他の方法があるのかと、模索しておりました。

ご回答ありがとうございます。

回答No.2

7kobito

＃１です。
書き間違えました。
使う比は　
１：２；√３
です。

回答No.1

7kobito

ヒント(1)
　この平行四辺形の高さは？
　∠A＝１５０°ということは∠B＝３０°
　斜辺の角度が分かっているので、１：１：√３をつかって出しましょう

ヒント(2)
　変域ごとの図形の形を考えてみましょう
　どこが底辺？高さはcm？よく見て考えましょう。
　ここでも比を使いますよ。

頑張って解いてみてください。

補足

ご回答ありがとうございます。

使う比　１：２；√３
については　わかるんですが・・・
（理解しているところまで記載するべきでした。申し訳ありません）

6＜x＜10　のとき
平行四辺形の面積から　引き算するやり方しかないのか、
どう解くべきかが　わからないので補足いただけると助かります。