Z会の今まで見たこともない漸化式からある不思議な関連を発見
とても不思議と僕は思っておりますので、ちょっと長くなりますが、どうかお付き合いください。
Z会の問題をヒントに、次のことを発見しました。
a[1]=1 , a[2]=4
a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0
⇔
a[n]<a[n+1] , a[1]=1
a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5
という、漸化式の不思議な同値性です。
ちなみに、{a[n]}={1,4,11,29,76,199,521,…}
(⇒)を示すのは比較的簡単です。見通しよくするために構成的に証明してみます。
t^2-3t+1=0の解をα,βとすると、α+β=3,αβ=1
a[n+2] - αa[n+1] = β(a[n+1] - αa[n])
よって、
a[n+1] - αa[n] = β^(n-1) (4 - α)
同様に、
a[n+1] - βa[n] = α^(n-1) (4 - β)
これらをかけて、整理すると、
a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5
また、a[n]<a[n+1]は数学的帰納法で示すことが出来ます。
しかし、反対方向の証明がわかりません。
数列の正体は、
a[n]={(1+√5)/2}{(3+√5)/2}^(n-1) + {(1-√5)/2}{(3-√5)/2}^(n-1)
なので、それを仲介して大量の計算をすれば証明できるかもしれませんが、見通しよくありません。
a[n+2] - 3a[n+1] + a[n] = 0 という漸化式の解空間は、2次元線形空間になります。つまり、二つの解の和も解だし、一つの解の実数倍も解だし、第一項と第二項が定まれば全部の項が定まるので2次元です。
a[1]=1 , a[n+1]^2 - 3a[n]a[n+1] + a[n]^2 = 5
という2項間漸化式は、 a[n]の値からa[n+1]の値を求めるとき、2つに分岐しますが、それを適当に定めることによって、3項間線形漸化式に帰着されるのはなぜでしょうか？
どのような構造があるのでしょうか?
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4936699.html
で質問させていただいたことと関連して、背景が気になります。
