数列

質問

毎期の初めにM円を積み立てる。
利率ｒの期末複利計算としてｎ期末の元利合計を求める

n期末の元利合計をｓとすると

ｓ＝M(1＋r)＋M(1＋r)＾2＋…M(1＋r)＾n…(1)

になるそうですが、
この括弧の中の1＋rがわかりません。
さらにどうして２乗、３乗、n乗となるのですか？

そして、
計算すると(1)を
M(1＋r)・{(（1＋r）＾n)-1}/1＋r-1
になる方法がわかりません。
お願いします

回答No.2

fushigichan · ベストアンサー

kami245さん、こんにちは。

＞ｓ＝M(1＋r)＋M(1＋r)＾2＋…M(1＋r)＾n…(1)
＞この括弧の中の1＋rがわかりません。

具体的な数字として、考えてみたら分かりやすいですよ。
例えば、毎期（毎年）１０，０００円づつ積み立てるとします。
金利は、４パーセントだとしましょう。
すると、
M=10,000
r=0.04
ですね。
このとき、預けた１万円が、１年後には
10,000+10,000×0.04=(1+0.04)×10,000=10,400円になります。
　↑　　　　　↑　　　　↑
元金　　　　利息　　　元利合計にすると、1+rにMをかけている

となるのが分かると思います。
さて、最初のM円は、１年後には、M(1+r)円になるわけです。
また、次期の頭には、このM(1+r)円を元金として預けなおすので、
それは２年後には、{M(1+r)}×(1+r)円となりますね。

n年後には、
（１年積みたてたお金）＋（２年積みたてたお金）＋（３年積みたてたお金）
・・・・＋（今年積みたてたお金）
の合計ですから、
s=M(1+r)+M(1+r)^2+・・・+M(1+r)^n
となるのです。

＞M(1＋r)・{(（1＋r）＾n)-1}/1＋r-1

これは、数学の等比数列の和の公式を使っています。
初項a,公比r,項数nの等比数列の和は、
S=a{r^n-1}/(r-1)

と表されます。
(1)の式では、初項はM(1+r),項比は(1+r),項数はn個ですから、その和は

s=M(1+r)*{(1+r)^n-1}/(1+r-1)
=M(1+r)*{(1+r)^n-1}/r

となるのです。ご参考になれなうれしいです。頑張ってください！！

補足

ご親切なかいとうありがとうございます。
わかりました。
すごくうれしいです。
感謝します。
今後ともお願いします

回答No.1

noname#3823

Ｍ円をｒの利子で預けた場合ｎ期後の元利は
Ｍ・（１＋ｒ）＾ｎです。
各期でつぎたさなければこれだけです。
どうしてかというと
一期後の元利はＭ・（１＋ｒ）
２期後の元利は一期後にＭに相当するものがＭ・（１＋ｒ）になっているからそこから一期後がだから（Ｍ・（１＋ｒ））・（１＋ｒ）です。
ｎ期後はこれをｎ回繰り返しているだけです。

各期でつぎたしているのだからそれを足しているだけです

補足

ありがとうございます。
（１＋ｒ）
の１とはなんのいみですか？
どうして１を足さないといけないのでしょうか？