数列の複利計算

質問

年利率r、１年後との複利とする
毎年はじめにPずつ積み立て貯金し、n年経過時元利合計Sn

n年経過時には、１年目のはじめのＰはＰ（１＋r）＾nに、
２年目のはじめのＰはＰ（１＋ｒ）＾n-1に、・・・、n年目のはじめのＰはＰ（１＋ｒ）になる
したがってSnは
Ｓｎ＝Ｐ（１＋r）＾n＋Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）

n年経過時には、１年目のはじめのＰはＰ（１＋r）＾nに、
２年目のはじめのＰはＰ（１＋ｒ）＾n-1に、・・・、n年目のはじめのＰはＰ（１＋ｒ）になる

この部分なんですが
なぜこのような式になるのか意味がわからないです
解説よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

再度訂正します。
質問文のＳｎ＝Ｐ（１＋r）＾n＋Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）も正解です。
この式は最初のP円、２年目のP円・・・・そして最後のP円が
最初からｎ年後にいくらになっているかという順に書き表した式であり、
P（１＋ｒ）＋P（１＋ｒ）＾２＋・・・・＋P（１＋ｒ）＾（ｎ－１）＋P（１＋ｒ）＾ｎ
と等しくなります。

回答No.3

yyssaa

補足

解答ありがとうございます！
大分わかってきたのですが
まだ一つ分からないことがあります
P（１＋ｒ）＋P（１＋ｒ）＾２＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋Ｐ（１＋r）＾n
としてはだめなんですか？
なぜ２年目をP（１＋ｒ）＾（ｎ－１）円で表すのでしょうか？
よろしくお願いします

>済みません。
P（１＋ｒ）＋P（１＋ｒ）＾２＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋Ｐ（１＋r）＾n
が正解です。
うっかり質問文をそのままコピーしてしまいました。

回答No.2

yyssaa

P円が１年後にP（１＋ｒ）円になるのはいいですね？
元金P円に利息P×ｒ円を足してP＋Pｒ＝P（１＋ｒ）円です。
複利計算では、この金額が２年目の元金になります。
従って、２年目のはじめの積み立てをしなければ、最初の
P円は２年後には、元金P（１＋ｒ）円とそれの利息
P（１＋ｒ）×ｒ円の合計、すなわち
P（１＋ｒ）＋P（１＋ｒ）×ｒ＝P（１＋ｒ）＾２円になっています。
同じように３年目の元金はP（１＋ｒ）＾２円で、それに
P（１＋ｒ）＾２×ｒ円の利息がつくので、３年後の元利合計は
P（１＋ｒ）＾３になります。
ですからｎ年後には、最初のP円がP（１＋ｒ）＾ｎ円になる
ことになります。
２年目のはじめにP円を預ければ、経過年数が１年短い
ですから、最初にP円預けてからｎ年後であれば、２年目
のはじめのP円はP（１＋ｒ）＾（ｎ－１）円になっています。
あとは同様です。最後に預けたP円は１年しか経っていない
のでP（１＋ｒ）円であり、これらを合計すると
Ｓｎ＝Ｐ（１＋r）＾n＋Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）
になります。

補足

解答ありがとうございます！
大分わかってきたのですが
まだ一つ分からないことがあります
P（１＋ｒ）＋P（１＋ｒ）＾２＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋Ｐ（１＋r）＾n
としてはだめなんですか？
なぜ２年目をP（１＋ｒ）＾（ｎ－１）円で表すのでしょうか？
よろしくお願いします

回答No.1

Willyt

金額Ｐを預けるとi年後には複利でＰ（１＋ｒ）^i に増えていますよね。こうしてｎ年経ったとき
１年前のＰはP(1+r)に増えています。２年前のＰはＰ（1+r)^2 になります。こうして順次計算して行くと、ｎ年前のＰはP(1+r)^(ｎー1)になっています。するとＰを今年預けた時点の元利合計は今年のＰをこれに加え、

Ｓｎ＝Ｐ（１＋ｒ）＾n-1＋・・・＋Ｐ（１＋ｒ）＋Ｐ

となりますよ。貴方が提示された元利合計はちょっと違っています。但し今年のＰを預け、ちょうど１年経って来年のＰを入れる直前だと貴方の式になります。