高校数学、数列

質問

A円をある年の最初に借り、その年の終わりから同額ずつｎ回で返済する。年利率をｒ（ｒ＞０）とし、１年ごとの複利法とする。

毎年の返済額はいくらか?
（私の解答）
毎年の終わりにｘ円返すとする、このとき、返済すべきお金は１年目：（A-ｘ）（１＋ｒ）２年目（A-2x)（１＋ｒ）、、、ｎ年目（A－ｎｘ）（１＋ｒ）となるから、
ｎｘ＝A+（A-x)（１＋ｒ）＋（A-2x)（１＋ｒ）、、、＋（A-nx）（１＋ｒ）としたら間違えでした。
（問題集の解答）
借りた金のｎ年後の元利合計はA（１＋ｒ）＾ｎ
毎回の返済額をｘ円とすると、その元利合計は
ｘ＋ｘ（１＋ｒ）＋ｘ（１＋ｒ）＾２＋、、、＋ｘ（１＋ｒ）＾ｎ－１となっています。
（疑問）
(1)私の解答はどこがいけないのでしょうか？
(2)返済額の元利合計というのがよくわからないです。教えてください。

回答No.2

at9_am · ベストアンサー

> A円をある年の最初に借り、その年の終わりから同額ずつｎ回で返済する。年利率をｒ（ｒ＞０）とし、１年ごとの複利法とする。

1年後を考えると、返済額をxとして、その残額は
　A(1+r) - x
になっているはず、というのは良いですが、2年目は
　(A(1+r) - x)(1+r) - x = A(1+r)^2 - x - x(1+r)
であり、（A-2x)（１＋ｒ）ではありません。

因みにこれをn年目まで繰り返した場合には
　A(1+r)^n - {x + x(1+r) + ... + x(1+r)^(n-1)} = 0
となるため、移行して
　A(1+r)^n = x + x(1+r) + ... + x(1+r)^(n-1)
となります。

回答No.1

trytobe

（１）は、返済すべきお金の利率が複利法（１＋ｒのべき乗）ではなく、単利法（１＋ｎｒ）になっている点が、少なくとも問題に合致していません。

（２）元利合計は、元本Ａとそれについてくる利子の合計額ですが、複利なので１年経つごとに、Ａ×（１＋ｒ）×（１＋ｒ）×・・・ と返済総額は増えていきます。

（２）のように計算した返済総額をｎ年で割るのかな、と思いきや、返済するときにその年についた利子の一部と元本の一部を同時に返済する扱いにするようで、ややこしい返済額の計算式になっている気がします。

元金均等返済 元利均等返済 - Google 検索
http://www.google.co.jp/search?q=%E5%85%83%E9%87%91%E5%9D%87%E7%AD%89%E8%BF%94%E6%B8%88+%E5%85%83%E5%88%A9%E5%9D%87%E7%AD%89%E8%BF%94%E6%B8%88

お礼

ありがとうございました

補足

返すべきお金の計算式の理由は理解したのですが、
＜毎回の返済額をｘ円とすると、その元利合計は
ｘ＋ｘ（１＋ｒ）＋ｘ（１＋ｒ）＾２＋、、、＋ｘ（１＋ｒ）＾ｎ－１となっています＞
の部分の意味がわかりません。
返済すべき額に利率をかけるのはわかるのですが、毎年払う額に利率をかけるというのが何を意味するのかがわかりません。教えてください。