次の積分の問題がわかりません

質問

次の積分の問題がわかりません

面密度ρの円盤をxy平面上におき中心を原点として、y軸の回りの慣性能率
の式は次の積分で求まる。

∬ρx^2dxdy D:x^2+y^2<=a^2

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

∬[D]ρx^2dxdy
偶関数であり、積分領域の対称性から
=4ρ∫[0,a]dy∫[0,√(a^2-y^2)]x^2dx
=4ρ∫[0,a]dy [x^3/3][0,√(a^2-y^2)]
=(4/3)ρ∫[0,a] (a^2-y^2)^(3/2)dy
y=asin(t)(a>0)で置換積分,t:[0,π/2],dy=acos(t)dt
=(4/3)ρa^4∫[0,π/2] (cos(t))^4dt
=(4/3)ρa^4∫[0,π/2] {(1/2)(1+cos(2t))}^2dt
=(4/3)ρa^4∫[0,π/2] (1/4)(1+cos(2t))^2dt
=(1/3)ρa^4∫[0,π/2] {1+2cos(2t)+(cos(2t))^2}dt
=(1/3)ρa^4∫[0,π/2] {1+2cos(2t)+(1/2)+(1/2)cos(4t)}dt
=(1/3)ρa^4∫[0,π/2] {(3/2)+2cos(2t)+(1/2)cos(4t)}dt
=(1/3)ρa^4 {(3t/2)+sin(2t)+(1/8)sin(4t)} [0,π/2]
=(1/3)ρ(a^4)(3/4)π
=(ρπ/4)a^4