大学の常微分

質問

常微分の問題です！！

(x+3)y''+(x+2)y'-y=0・・・(1)の一般解を求めよ。

自分の解答

まず一つの特殊解ｙ１＝x+2を見つけました。

y=uy1とおいて

y',y''を(1)に代入

(x+3)(x+2)u''+(x^2+6x+10)u'=0

u'=Cexp(-x)(x+2)^2/(x+3)　(ただしCは任意定数)

となりました。

u'を積分してuを部分積分で求めようとしましたができませんでした・・・

上に記した計算は合っていますか？合っているとしたらこの先どのようにしてもとめればよいのでしょうか？

回答No.1

Mr_Holland · ベストアンサー

＞u'=Cexp(-x)(x+2)^2/(x+3)　(ただしCは任意定数)

　ここまでの計算は合っているようです。

　ｕ’の積分は、積分指数関数 Ei(x) を使わなければなりません（初等関数では表せません）。

　ｕ’＝Ｃexp(-x){(x+1)+1/(x+3)}
　ｕ　＝Ｃ{-(x+2)exp(-x) + exp(3) Ei(-x-3) + Ｄ）　　（Ｄ：積分定数）
　　　　　ただし、　Ei(ax)＝∫exp(ax)/x dx　（積分指数関数）

　一般に、∫exp(ax)/x^n dx　（n>0）は積分指数関数Eiに帰着し、初等関数では表せなくなります。