４色問題解けましたその2

質問

一つの3分割ドーナッツは他の3分割ドーナッツの1面から3色を奪い、もう1面から2色を奪い、更に1面から1色を奪い塗り方を1通りに限定します。3つの3分割ドーナッツは最大でも、3つの3分割ドーナッツの色の塗り方を1つに限定するのみです。4つなら4つです。幾ら数を増やしても、この計算では最低でも1通りで塗れます。但し3つ以上の場合は、3色奪った面と2色奪った面と1色奪った面の接触が切れてしまうので、塗り方はもっと多くなります。奇数個に分割したドーナッツを、3分割ドーナッツIIに接触させます。7分割したドーナッツの例で説明すると、7面全てとＸを接し、残り2面とＹを接し、残り1面をＺと接しないと、3色をＸに、2色をＹに、1色をＺに接触させることは出来ません。第3色目は周囲の7つの何処でも良いからです。従って、性質は3分割ドーナッツと全く同じです。次に3色を必要とする図形です。これは、2分割ドーナッツです。周囲をアイの2面、穴をウとします。これをドーナッツIIに接触させます。アイをＸに、更にアイをＹ面に、Ｚはアに接触させます。塗り方は（4-2）×（3-2）×（2-1）×1＝2通りあります。2色必要とする図形◎をドーナッツIIに接触させた場合、（4-1）×（3-1）×（2-1）×1＝6通りあります。5色目が必要なのは、0通りとなる時です。それは(1)黄赤青白4面を1面に接触させると、5色目の黒を必要とする。(2)黄赤青3面が1面に接触する形が2つあり、接触された2面が接触すると白と黒を必要とする。(3)黄赤2面が1面に接触する形が3つあり、接触された3面がＹ字状に接すると青白と黒を必要とする。(4)黄1面が1面に接する形が4つあり、接触された4面がそれぞれ他の3面と接触すると赤青白と黒を必要とする場合の4通りです。3分割ドーナッツの周囲の面は3色なので(1)は不可能です。(2)の3面をそれぞれ2面に付けるのも不可能です。(3)の同じ面2つを3面にそれぞれ接触させることは出来ません。(4)は4本足の蛸の例からしても不可能です。3分割ドーナッツは以上4通りあるいずれの要件も満たしません。全ての図形は1から複数に分割されたドーナッツを組み合わせて接触させ、穴を無くし（性質は同じです）、線を伸縮曲げ伸ばしして加工することで描けます。平面を球面にするには、平面上の図形の周囲にある無限に広がる面を収縮させ一面とすれば、球面になります。そうしても性質は変わりません。以上の説明の通り、平面上及び球面上で4色以下で塗り分けられる図形を幾ら組み合わせても、5色目を必要としません。5面で5色を必要とする図形もありません。従って、全ての平面上及び球面上の図形は4色で塗り分けられると言えます。

回答No.3

wakko777

その考えをぜひ、学会に発表してください。

補足

読んでいただき、ありがとうございます。その後更に考えて最終的な結論を出しました。ぜひ読んで見てください。その1　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa5634158.html　その2　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa5634163.html　またご感想をお願いします。

回答No.2

alice_38

前頁(QNo.5578992)に書きましたが、
貴方の方法で3分割ドーナツ2個をくっつけると、
外周が3国からなる8国地図ができます。
その方法は何回でも繰り返すことができ、
n個のドーナツをくっつけると
4n国の地図ができますが、
できる地図は、必ず、外周が3国になります。
よって、貴方の証明は、
外周の国数が3でない地図にはあてはまらず、
4色問題の証明としては、一般性を欠きます。

補足

ご回答ありがとうございました。忙しかった為ご返事が遅くなりました。真剣に読んでいただき大変感激しています。さて、国の色を1色に限定する為に、3分割ドーナッツの面同士を出来る限り接触させた結果、外周の面は3国で3色に限定されたのです。3面を1面に2面を1面に1面を1面に接触させたのです。接触面を少なくすると、外面の数は増えます。しかし、4面以上の外面は1色に特定しないのです。外面が青黄赤白4面と決まれば、これに接する黒1面を描けます。外面が青黄赤黄と決まれば、青黄赤に接する白黒（接する）2面が描けます。外面が青黄青黄と決まれば、青黄に接する赤白黒（接する）3面を描けます。つまり、外面4面が特定されれば、第5色目が必要となるのです。3面と1面、2面と1面、1面と1面が接する能力を持つ3分割ドーナッツで、5色目が必要な外面4つの色の特定した図形が作れるかを試したのです。接触数が少なく外面が多数になる場合、外面は3面以上は特定せず、外面同士を接触させても、最終的には外面は3面3色になります。貴方のご指摘の通り、4色を必要とする図形を幾ら組合わせても、5色を必要とする外面4面の色が特定した図形は作れないので、全ての図形は4色で塗り分けられると言えるのです。最終的な考えを投稿しましたのでこちらをご参照ください。その1　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa5634158.html　その2　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa5634163.html　またご意見をお願いします。

回答No.1

nag0720

おもしろい考え方ですね。

前半の4色必要な図形の場合しか読んでいませんが、疑問点がいくつかありますので、補足してください。
（4色必要な図形で問題なければ3色必要な図形でも大丈夫でしょう）

疑問１
3分割ドーナッツIとIIを接触させた場合として、
ＡＢＣをＸに、ＡＣをＹに、ＣをＺに接触させた場合しか考慮されていませんが、
ＡＢをＸに、ＢＣをＹに、ＡＣをＺに接触させた場合はどうなりますか？
その場合は、
「一つの3分割ドーナッツは他の3分割ドーナッツの1面から3色を奪い、もう1面から2色を奪い、更に1面から1色を奪い塗り方を1通りに限定します。」
が言えなくなりますが。

疑問２
「3つの3分割ドーナッツは最大でも、3つの3分割ドーナッツの色の塗り方を1つに限定するのみです。」
とありますが、これは論理の飛躍ではないですか？
3分割ドーナッツI、II、IIIがあった場合、
ドーナッツIとIIが接触し、ドーナッツIIとIIIが接触しているとした場合は４色に限定できるかもしれませんが、さらにドーナッツIとIIIも接触している場合もありますから、その場合はどのようにして色の塗り方を限定しますか？
（ドーナッツIとIIIが接触している面が違う色になるとはかぎらないのでは？）

疑問３
3分割ドーナッツが４つ以上の場合も、相互に接触している場合を考えなければなりませんが、その場合はどのようにして色の塗り方を限定しますか？

以上、補足よろしく。

タイプミスが１点ありますね。
「4-3でＡはＤ1色になります。」→「4-3でＸはＤ1色になります。」

補足

真剣にご検討下さり、大変感激しております。忙しかったのでご返事が遅れ申し訳ありませんでした。さて、3分割ドーナッツの3面を1面に、2面を1面に、1面を1面に接触させたのは、出来る限り面の色を1色に特定するためです。疑問1でご指摘の場合ＸＹＺはＣＡＢ・ＤＡＢ・ＣＤＢ・ＣＡＤの4通りの可能性があり、1色には限定されません。第5色目が必要なのは、図形の外面の内4面の色が特定した図形です。その様な図形が作れるかを検証し作れないとの結論に至ったものです。ご指摘の図形は、出来る限り面の色を限定する接触方法を取った私の方法より、面の色の限定がより少なくなり、、第5色を必要とする図形からは離れて行きます。可能な限り面を接触させ、第5色目を必要とする度合いを上げても作れないことを言いたいのです。疑問2ですが、可能な限り3分割ドーナッツの外面を接触させると同時に、1色に限定された外面の数を可能な限り増やす方法で接触させて行ったとき、全ての3分割ドーナッツの面は1色に限定されますが、4色で塗れます。詳しい説明は下記のリンク先をご参照下さい。疑問3について。3分割ドーナッツを幾らたくさん接しても、疑問2で説明した通り、出来うる限り外面同士を接触させ1色に特定すると同時に、色の特定した外面の数をふやす方法でどんどん接していく場合（第5色目を必要とする図形に近づく）1つの接し方しかありません。詳しくは次のリンク先をご参照下さい。その1　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa5634158.html　その2　http://qanda.rakuten.ne.jp/qa5634163.html　更なるご意見を期待しています。考えることは楽しいので。