積分（お茶の水大９９）の問題なのですが…早急に解説して頂けると助かりま

質問

積分（お茶の水大９９）の問題なのですが…早急に解説して頂けると助かります_(._.)_

座標空間の平面z＝１上に曲線x＝cos^3θ,y=sin^3θ(0≦θ≦2π)で囲まれた図形Dがある。
h＞１として、点(a,b,h)より図形Dに光をあてるとき、
平面z=o上に映るDの影をD'とする。このとき、D'の周囲の長さを求めよ。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

こんにちわ。

曲線の長さを求めるときに、「微小な（非常に短い）線の集まり」として積分の計算をすると思います。
ですので、まずはこの微小な線がどのようになるかを論じて、それを積分して足しあげるという方向がいいと思います。

もとの曲線上の微小な線（線素ともいいます）：Δlと光源：P、そして影となる線素：Δl 'を考えます。
光源を頂点とした三角形を考え、相似比を用いれば線素の比がわかります。

あとは積分して足しあげることで、影の長さが求められます。

回答No.1

nag0720

平面z=1上の曲線を点(a,b,h)から平面z=0上に投影すると、投影後の長さは元の長さのh/(h-1)倍になります。

平面z=1上の曲線の長さは、第１象限の部分の４倍なので、
4∫[0～π/2]√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ
よって、投影後の長さは、
{4h/(h-1)}∫[0～π/2]√{(dx/dθ)^2+(dy/dθ)^2}dθ

あとは、ご自分で計算を。