数学の質問です！

質問

数学の質問です！
これが解けたらかなりすごいと思います！！

(1+x)^α　= 1+αx+……（二項定理）

を使って、√2の近似値を求めてください！

私が思うに、x=1、α=1/2　を代入すれば解けるのではないか…と思ったのですが、これではなかなか1.414…に収束しません！
何か工夫が必要なようです。
ご存知の方いらっしゃいましたらどうかご教授のほどよろしくお願いいたします。

回答No.2

naniwacchi · ベストアンサー

「できそうで、できない」という感じですね。
二項定理の展開式は、通常「近似式」として使われるものです。
（特に、物理学ではよく使われます。）
「近似式」ですので、xは 1に対して非常に小さい（記号では、|x|<<1）ときに成り立つ式となります。
つまり、x= 1とすると、近似にならないので、精度も悪くなってしまいます。

「√2」という数字をどうにか変形してみましょう。
そこで、次のように変形してみます。
√2
＝ √(100/50)
＝ 10/50* √50
＝ 1/5* √(1+ 49)
＝ 7/5* √(1+ 1/49)

1/49は割合でいえば 2%強ですので、だいぶん精度は上がってくると思います。
あとは、2次式ぐらいまでの近似値をとれば、だいぶいい値が得られると思います。

お礼

す、すごいですね…。
まさかそんな方法があったとは…。
3次式は大変すぎて求めませんでしたが、それでもかなり良い値（1.41421）が求まりました！
ありがとうございました。

回答No.4

zabieru259

質問の方向とはそれるかもしれませんが
（３－２√２）のｎ乗をＡ＋Ｂ√（A,Bは共に自然数）としたときの
A/Bは√２の近似値になりｎが大きくなればなるほど√２に近づいていきます

回答No.3

Quattro99

x=√2-1すればよいのでは？

回答No.1

Tacosan

x=-1/2 を入れればちょっとは速いと思う.