数学の質問です！

質問

数学の質問です！

解析幾何に関する質問です。

「1辺の長さが1の正三角形の3隅から2辺の長さがそれぞれ、x,yの、合同な3つの三角形を取り除き、6辺の長さが全て等しい六角形を作る。

1.　x,yの満たすべき条件を求めよ
2.　この六角形の面積Ｓの取りうる値の範囲を求めよ。」

余弦定理を用いて、x + y + √（x^2 + y^2 - xy）= 1
であることより、
3xy - 2x - 2y + 1 = 0

であることは分かったのですが…、

0＜x+y＜1

ぐらしか他に条件が分かりません；
どなたかご教授下さいませ。

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

Ｓ＝ √3(1 - 3xy)/4　‥‥(1)　で　3xy - 2x - 2y + 1 = 0が条件。

見てすぐ分かるのは、Ｓも条件もxとyの対称式になっている事。
そんな時は、x＋y ＝a　xy ＝b と置くと良い。

従って、xとy は　f(t)＝t＾2-at＋b＝0　の2つの実数解で、共に0と1の間にある。
そのためには、判別式≧0、f(1)＞0、f(0)＞0、0＜軸＜1　‥‥(2)　が条件だから、3xy - 2x - 2y + 1 = 0　→　2a＝3b＋1　を(2)に代入してやると、0＜b＜1/9　‥‥(3)
(3)の範囲で(1)の値の範囲は、Ｓ＝ √3(1 - 3b)/4　であるから　√3/6＜Ｓ＜√3/4。

お礼

ありがとうございました！
これから対称式に出会ったら、その方法で対処していくようにします！

回答No.1

nag0720

他の条件は、0＜x＜1　と　0＜y＜1　です。

3xy - 2x - 2y + 1 = 0
を分かりやすい式にすると、
(3x - 2) (3y - 2) = 1
これは、x=2/3とy=2/3の直線を漸近線とする双曲線です。

これらから、x,yの満たす条件は、
0＜x＜1/2　、　0＜y＜1/2　、(3x - 2) (3y - 2) = 1
だけで十分です。

面積Ｓは、
取り除く三角形の面積は、√3xy/4なので、
Ｓ = √3/4 - (√3xy/4)*3 = √3(1 - 3xy)/4

また、問１の条件からxyは、x=0またはy=0のとき最小、x=y=1/3のとき最大になるので、
0＜xy＜1/9
よって
√3/6＜Ｓ＜√3/4

お礼

ありがとうございました！
納得しながら問題を解くことができました！