一般化2項定理について質問です

質問

一般化2項定理の収束半径は１ですが、収束半径上では収束するでしょうか、それとも発散するでしょうか？

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

(α;n)=[Π_{k=0～n-1}(α-k)]/n!
X(n)=(α;n)x^n
とすると
(1+x)^αのマクローリン展開
(1+x)^α=Σ_{n=0～∞}X(n)…(1)
の右辺の現れる冪級数を二項級数という

|x|=1の場合
a,bを実数として
α=a+ib
とすると

Re(α)=a>0
の時
k>a^2+b^2
となるような自然数kがある
n>kとなる任意の自然数nに対して
a+1>1
2n(a+1)>2n>n>k>a^2+b^2>a^2+b^2-1
2n(a+1)-a^2-b^2+1>0
↓
(n+1)^2-{(n-a)^2+b^2}
=2n(a+1)-a^2-b^2+1>0
↓
(n+1)^2>{(n-a)^2+b^2}
↓
|X(n+1)/X(n)|^2
=|(α;n+1)/(α;n)|^2
=|α-n|^2/|n+1|^2
=|n-a+ib|^2/|n+1|^2
={(n-a)^2+b^2}/(n+1)^2<1
↓
|X(n+1)/X(n)|<1
↓
(1)の級数は
Re(α)>0の時絶対収束する

2項級数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0#math_1
に書いてある通り
(1)の級数は
|x|=1の場合
Re(α)>0の時絶対収束する
(x≠-1)&(-1<Re(α)≦0)の時条件収束する
(x=-1)&(-1<Re(α)≦0)の時発散する
Re(α)≦-1の時発散する

参考URL：

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%8C%E9%A0%85%E7%B4%9A%E6%95%B0#math_1

お礼

ありがとうございます。