高校数学

質問

すべての実数ｘに対して、不等式

(ａ-1)(ｘの2乗)+ａｘ-2≦0

が成り立つようなａの範囲を求めよ。

この問題の解き方を教えて下さい。

答 -4-2√6≦ａ＜1

回答No.1

info22 · ベストアンサー

a=1とするとすべての実数xについて不等式が成立しない。
a>1とするとy=左辺は下向きに凸の放物線なのですべての実数xについて不等式が成立しない。

これらから
a<1…(●)
でなくてはならない。
このとき２次不等式になる。
y=左辺は上向きに凸の放物線なので
すべての実数xについて不等式が成立するための条件は
(a-1)x^2+ａx-2=0 (a<1)
が異なる2つの解を持たないこと。
つまり、判別式D=a^2+8(a-1)≦0
これを満たすaの範囲は
　-4-2√6≦a≦-4+2√6 …(■)

(●)と(■)が同時に成り立つa　の範囲を求めれば答えになります。

回答No.3

sotom

丸投げは禁止です。宿題は自分でやりましょう。

グラフを描きましょう。

y=(a-1)x^2+ax-2と仮定して、全てのxに対してy≦0ということは、
∩の形状、即ちx^2の係数が負で、且つ、x軸に接しなければいい。

あとは、判別式を使って計算しましょう。ちなみに中学生レベルですよ。

回答No.2

noname#137826

問題の不等式は添付図の数式のように展開できるので、求める条件は

a - 1 < 0 かつ (a^2 + 8a - 8) / (4(a - 1)) ≦ 0

となります。
(放物線が上に凸で、かつ、頂点の座標が0以下、ということです。)

この不等式を解くと答えが得られます。