円環の固有振動数

質問

図がないと説明し難いのですが、輪っかに棒を通して揺らす系（棒は円環に比べて十分に細く、点で支えている感じです。あと摩擦も無視します）の固有振動数を求めたいのですが、微小体積を質点とみなし重力による力のつり合いから運動方程式をたてるだとか考えましたが角度のとりかた等がうまくいかず行き詰まっています。よい方法があれば教えていただきたいです。

回答No.3

grothendieck · ベストアンサー

inversezeroさん、こんにちは。私は下図のような状況かと思いました(回転軸の方向から見た図)。

　　　　　回転軸
　　　　　●○●
　　　　●　　　●
　　　●　　　　　●
　　　●　　　　　●
　　　●　　　　　●
　　　　●　　　●
　　　　　●●●

この図でよろしいのでしょうか。また、振幅は小さいとしてよろしいのでしょうか。以下、その場合について計算します。剛体の質量をM、重心の速度をV、慣性モーメントテンソルをIjk、角速度のi方向成分をΩi、ポテンシャルエネルギーをUとするとラグランジアンは
　L = (M/2)V^2 + (1/2)IjkΩjΩk - U
となります(繰り返されている添字については1から3まで和をとる)。このラグランジアンの導出については適当な力学の教科書を見て下さい。慣性モーメントテンソルは対角化すれば三つの成分を持ちますが、ここで必要になるのは円環の中心軸周りの慣性モーメントだけ、角速度も回転軸周りの角速度になります。円環の半径をaとすると慣性モーメントは
　I = Ma^2
となることは容易にわかります。回転軸と円環の重心を結ぶ線が鉛直線となす角をθとするとラグランジアンの運動エネルギーの項は
　M(aθ・)^2
となります。ここでθ・はθの時間微分を表わすものとします。また、ポテンシャルエネルギーは、
　U = Mga(1-cosθ)
ですが、振幅が小さいとすると、
　U = (1/2)Mgaθ^2
となります。こうしてラグランジアンは
　L = M(aθ・)^2 - (1/2)Mgaθ^2
となりますが、これは調和振動子のラグランジアンなので振動数は
　ω = √(g/2a)
となって、ibm_111さんと同じく、長さ2aの糸の先に重りがついているときの振動数になりました。私は「回転軸から最も遠い所に質量が集中している時回転軸周りの慣性モーメントが最大になり、振動数は最小。質量分布が回転軸の方向へ移動すると、慣性モーメントは小さくなり、振動数は大きくなる。」と思っていたのでこの結果は意外です。質量分布が回転軸の方向へ移動する替わりに円環状に配列したため重心軸周りの慣性モーメントが大きくなったからなのでしょうか？なお、振幅が小さいとしない時はsiegmund先生が言われるように楕円積分が必要になってきます。

お礼

どうも説明不足でご迷惑をおかけました。grothendieckさんの図の様な感じです。ラグランジアンはまだ基礎すら理解できていなかったので、さらに課題が増えてしまいましたが、懇切丁寧に答えて頂き本当にありがとうございました。

回答No.4

siegmund

siegmund です．
今見たら，なんだか私の図がずれて見えます．
スペースは全角にしたんですが，ブラウザーの設定のせいかな？

grothendieck さんのご回答拝見しました．
なるほど，点で支えている感じ，というのはこういうことですか．

grothendieck さんの最後のコメントですが，
この回転軸の位置は実はωを最大にする位置になっています．
極端な話，回転軸が円環の中心にあれば復元力が働きませんからω=0 です．
また，回転軸を円環からうんと離せば，単振り子で糸の長さをうんと長くしたのと
同じことになりますから，ω→0 になります．
つまり，途中のどこかでωが最大になります．

回転軸周りの慣性モーメントを J，
重心を通り回転軸に平行な周りの慣性モーメントを I_G とします．
さらに，回転軸と重心との距離を h とします．
前に書きましたように
(1)　　ω = √(Mgh/J)
です．
平行軸の定理によって，
(2)　　J = I_G + Mh^2
ですから，回転半径 k を
(3)　　I_G = Mk^2
で定義すれば，
(4)　　ω^2 = gh/(h^2 + k^2)
と書けます．
h = 0 と h→∞ で ω=0 になり，前の段落の話と符合しています．
が最大になるのは
(5)　　h = k
のときであるのは簡単な計算からわかります．
つまり，回転半径分だけ回転軸を重心からずらした，という状況です．
今の円環の場合には
(6)　　I_G = Ma^2　⇒　k = a
ですから，grothendieck さんの図の状況のときにωが最大となります．

お礼

どうも説明不足でご迷惑をおかけしました。ωが最大となることまで考察して頂いて、理解がふかまりました。本当にありがとうございました。

回答No.2

siegmund

ibm_111 さんの２番煎じで蛇足です．

　　　　　　│Ｓ│
　　　　　　│　│
　　　　　　│　│
　　　　　　│　│
　　　　　　│　│
　　　　　　│　│棒
　　　　　　│　│
　　　　　　│　│
　　　　　　│　│
┌─────┴─┴─────┐
│　　　　　　Ｇ　　　　　　│円環
└─────────────┘

という具合ですか？
S は回転軸．
それなら，力学で，
剛体振り子，実体振り子，物理振り子，などど呼ばれる問題です．

支点の軸を S，剛体の重心を G，SG 間の距離を h，
SGの鉛直線に対する傾きをθ，剛体の質量を M，
回転軸のまわりの慣性モーメントを I，重力加速度を g とします．
剛体の力学から，運動方程式は
(1)　　I d^2θ/dt^2 ＝－Mgh sinθ
となります．
(1)は糸の長さが L=I/Mhである単振り子の運動方程式と同形で，
振幅が小さい場合の固有角振動数ωは
(2)　　ω = √(Mgh/I)
です．周期 T は T=2π/ω．
一般の振幅に対しては解は楕円積分になり，
周期は振幅に依存することになります．

今は，棒の質量を無視するというのですから，
Ｇは円環の重心になります．

回答No.1

noname#108554

私の計算が正しければ
錘までの長さが輪の直径に等しい普通の振り子と
周期は同じです。

別段、特殊なやり方も使わないし・・・
多少三角関数の計算が面倒なぐらいです。
ポイントとしては、
鉛直方向と棒-円環の中心を結ぶ線の角度をω
円環の中心を頂点とした、棒と微小体積のなす角度をθ
とすると、
棒-微小体積を結ぶ線と鉛直方向のなす角がω+(π-θ)/2
になるということぐらいでしょうか。

文字では説明しにくいので、これ以上書きませんが。
申し訳ないです。

お礼

どうも説明不足でご迷惑をおかけしました。確かに三角関数の計算がかなり面倒でした。適切に誘導して下さって、本当にありがとうございました。