まず、健康保険の扶養の基準は、
「今後12ヶ月で130万円を越える収入がある見込みの物」
となっています。
この意味は、去年、今年と別れているわけではありません。
ご質問者の場合で、去年より始めたバイトが契約更新などにより続いている場合、去年始めた時点が起算日となります。
ただ、
その時点で契約が継続するのかかがわからない=見込みが立っていない
場合は、まだ見込みがないとして加入を続けても問題ありません。
しかし、今年に入り既に(去年の分と会わせて)130万円を越える収入が確実となりましたので(今年に入っての6ヶ月契約のため)、今年の契約更新時に扶養をはずれる必要があったわけです。(現在ははずれていないとダメなのに、加入を続けているという状態です)
次の契約更新時に更新せずに終了し、収入が途絶えたらまたすぐに扶養にはいることが可能です。更新した場合はもちろんそのまま扶養をはずれたままとなります。
なお、扶養に入る際には、過去に遡ってということはありません。
扶養をはずれたら、扶養をはずれたことを証明する書類(お父様にもらって下さい)をもって国民健康保険に加入手続きします。
その書類に書いてある資格喪失日からの加入となります。
とここまでは、杓子定規の話ですが、もし6月に契約を終了させるつもりであれば、はずれてもあと10日しかありませんので、手続きしてもあまり意味はないかと。
悪質であれば、何らかの措置が執られる可能性もなきにしもあらずですが、そう言うわけではないのでね。とりあえずお父様とご相談下さい。