数列{an}をa1=7, a(n+1)=-2(an

質問

数列{an}をa1=7, a(n+1)=-2(an)+3(n=1, 2, 3•••)で定める。一般項anを求めなさい。
この問題教えてください。

回答No.6

shuu_01

＞　#1~4の答えは間違いではないけれど
＞　整理されていない。受験では点を減らします。

＞　なお、#1~4が言っている特性方程式を使う方法は
＞　３項以上の漸化式（a(n),a(n+1),a(n+2)....)の場合には
＞　必要ですが、2項間の漸化式では全く不要です。

コメント、ありがとうございます

no. 5 さんの解答、僕にはスッキリしてます

僕も最初、そう解いたのですが、

受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula.html

がわかりやすかったので、その「別解」 をそのまま、
数値を今回の問題に置き換えて、書いてました

僕には間違えに思えませんけど、

あまり深く考えてないので、

どうなんでしょうね

回答No.5

spring135

このような漸化式は詰まることろ遊びです。楽しんで策略をめぐらしてやればよろしい。そのうちゲームより楽しくなること請け合いです。

a(n+1)=-2(an)+3

等比級数にするには3が邪魔だなという感覚が湧けば勝てます。

つまり

a(n+1)-p=-2(an-p)　　　　　　(1)

という形になればbn=an-pとおいて

b(n+1)=-2bn=(-2)^nb1

よって

an=bn+p=(-2)^(n-1)b1+p (2)

で解けた！ということになるわけです。

pは？

これが気にならなければ数学はやってられません。

(1)より

a(n+1)=-2an+3ｐ

元の式と比べてp=1

この後は後始末です。

b1=a1-p=7-1=6

(2)に代入

an=bn+p=(-2)^(n-1)b1+p=6*(-2)^(n-1)+1

=1-3*(-2)^n

#1~4の答えは間違いではないけれど整理されていない。受験では点を減らします。

なお、#1~4が言っている特性方程式を使う方法は３項以上の漸化式（a(n),a(n+1),a(n+2)....)の場合には必要ですが、2項間の漸化式では全く不要です。

回答No.4

shuu_01

受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula.html

を見ても、正解は No.1 さんの特殊方程式を使った、スッキリ
した解答ですが、

「段差をとるという考え方」 を理解するため、

【別解】 も書かれてます

a(n+1) = -2 a(n) + 3　　…　(1)
a(n+2) = -2 a(n+1) + 3　…　(2)

(2) - (1) より、a(n+1) - a(n+1) = -2{ a(n+1) - a(n) }

{ a(n;1) - a(n)} は 初項 a2 - a1 = -11 - 7 = -11
公比 -2 の等比数列である

よって、a(n+1) - a(n) = -18 (-2)^(n-1)

n ≧ 2 の時
　　　　　　　 n-1
a(n) = 7 + 1 Σ (-18) (-2)^(k-1)
　　　　　　　 k=1

　　 = 7 + (-18) 1・{ (-2)^(n-1) - 1} / ( -2-1)
　　 = 7 + 6 { (-2)^(n-1) -1 }
　　 = 6 (-2)^(n-1) + 1

n = 1 の時
a(1) = 6 (-2)^0 +1 = 6 + 1 = 7 より n = 1 の時も成り立つ

∴ a(n) = 6 (-2)^(n-1) + 1

やった！ No. 1 さんと同じ正解に辿り着けた (^_^)v

回答No.3

shuu_01

受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula.html

を読むと、No.1 さんの「特殊方程式」での解答と

もう１つ 段差 a(n+2) - a(n) を考えると、等比数列型となる
解き方も説明されています

回答No.2

shuu_01

No.1 さんが正解を書いてくださっていますが、

受験の月
漸化式について
http://examoonist.web.fc2.com/recurrence-formula.html

の特殊解型の漸化式　a (n+1) = p a(n) + q

と今回の問題にそっくり、そのまま適応できる解説が
書いてます

まず、これをしっかり身につけましょう

回答No.1

asuncion

特性方程式 t = -2t + 3 を立てる。
3t = 3, t = 1より、漸化式
a(n+1) = -2a(n) + 3
は、
a(n+1) - 1 = -2(a(n) - 1)
と変形できる。
数列 {a(n) - 1} は、初項 7 - 1 = 6, 公比 -2 の等比数列。
一般項は
a(n) - 1 = 6・(-2)^(n-1)
∴a(n) = 6・(-2)^(n-1) + 1