a1=√2,a(n+1)=√(2+an)が単調増加数列になる事の証明です。

質問

漸化式がa1=√2,a(n+1)=√(2+an)である数列が単調増加数列になる事の証明です。

a(n+1)-an=√(2+an)-an≧0
とどうして言えるのでしょうか?
何か上手い方法をお教え下さい。

回答No.1

joggingman · ベストアンサー

a(1)=√2
a(2)=√(2+√2) <√4 =2
a(3)<√(2+2)=2
a(4)<2
・・・・
結局、0<a(n)<2　となります（数学的帰納法で証明できる）

a(n+1)-a(n)=√(2+a(n))-a(n)={(2+a(n))-a(n)^2}/{√(2+a(n))+a(n)}
={-(a(n)-1/2)^2+9/4}/{√(2+a(n)) +a(n)}
0<a(n)<2なので、
-(a(n)-1/2)^2+9/4≧0
よって、
a(n+1)-a(n)≧0

お礼

意外と簡単なのですね。
これは気づきませんでした。
どうも有り難うございました。