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半径Rの球が 1mL の中に入る最大の個数は?
半径R(たとえば200 um)の粒子が, 1 mL (つまり1000 mm^2) の中に入る最大個数はいくつでしょう?? 最終的には、Rの関数となると思います。 すなわち 体積V(R)= xxxxx 最密充填で考えた場合です。 いろいろ調べましたがどうもわかりません。 どうかお願いします。
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面心立方格子の最密充填とすると、次のようになります。 一辺あたりの最密充填格子の数をnとすれば、 格子点(球)の数Sは、 S=(n+1)(4n^2+2n+1) となるでしょう。n=1,2,3・・・などとして数えてみてください。 質問の場合、球の直径をdとすると、単位格子の一辺は√(2)dです。 立方体の一辺をlとすれば、この中に入る格子の数は、 n=(l-d)/(√(2)d) です。 したがって、l=10mm、d=0.4mmとすれば、 n=9.6/(√(2)*0.4)=16.97056275 面心立方格子の1層目の高さは、d/2/(√(2)d)=0.3536 2層目の高さは、d/2(√(29+1)/(√(2)d)=0.8536 だから面心立方格子が17段詰まるが、17段目の3層目は入らない。 したがって、 n=17で計算し、17段目の3層目の格子点の数、(n+1)^2+n^2*3(3面ある)を引けばよい。 21438-613*3=19599 個ということになる。 ちなみに、充填率は、0.657になる。 17段目が不完全なことが効いている。 17段目が完全だと、0.718になる。 これも、各面で詰まらない空白ができるのが効いている。 http://okwave.jp/qa5496955.html
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- kamiyasiro
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既に,いくつかの回答が示されていますが, 世の中,最密充填とかで計算できるほど単純ではありません. たしかに,1つの球に12個の球は接することができますが, 実は,その12個は互いに接してはいません. ですから,どこかで13個目が入る可能性があります. この問題はケプラー問題といいます. これを多次元に拡張した問題もあります. これは「フェルマーの最終定理」「ポアンカレ予想」のような 未解決問題であり,「ニュートン13球問題」と言います. 最密充填を多数個繰り返していくと 隙間がだんだん大きくなり,どこかで1個追加できる というようなことが可能になるのです. もし,この質問に解答できたら, 学術誌に投稿できるくらいの成果です.
- okormazd
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#2です。 補足 この場合は最密充填して各17段完全には詰まらなくても、多くの隙間が残るので、#2で計算したよりも多く詰まる可能性があります。しかしそれはちょっと計算できない。 21438-613=20825個 くらいの可能性がある。充填率は0.698くらいです。
- chiezo2005
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最密充填の充填率は http://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AD%E6%96%B9%E6%9C%80%E5%AF%86%E5%85%85%E5%A1%AB%E6%A7%8B%E9%80%A0 にあるように約74%です。 したがって、半径Rの粒子の体積Vとして個数は個数が大きい場合には 0.74/V が最大になります。 個数が大きい場合と書いたのは、個数が小さいときには考える体積の 形(というか端)の効果がでますので、上記数字からずれます。 極端な話、体積1mlの粒子(球状)が体積1mlの球状の空間を占めるときには 74%でなくてしっかり1個入りますので。