もっと単純に解けますか

質問

こんにちは。
　直角三角形に半径２の内接円が描かれているとき、
直角を挟む辺のうち長い辺を求める問題

(x+y)^2=(x+2)^2+(y+2)^2 から
(x-2)(y-2)=8
x>2 y>2
x=4,y=6
　　　　よって　6+2 で　8
ほかに作図でわかりますか？

回答No.12

noname#107596 · ベストアンサー

＞(x+y)^2=(x+2)^2+(y+2)^2
この式だどうやって出てきたか説明は必要かと。
式の意味を勘違いしてらっしゃる回答もありますし。

画像添付しましたがこれでいいですよね。

ただ＃５のご回答どおり
(x+y)^2=(x+2)^2+(y+2)^2
を満たす(x, y) の組は無数にあります。

また＃６のご回答について

＞直角を挟む二辺をx、yとします。
＞x>2、のとき、円を挟む二辺のなす角を
＞2θとすると、tanθ=1/(x-1)、です。

とありますが、「半径」２の内接円なので、
tanθ=2/(x-2)
でしょう。

どちらにせよ解の個数は無数にあるのですが、
問題設定は間違ってませんか？

回答No.14

noname#101466

「直径が2」と勘違い。
結果は、#11の解の、x以外の値を2倍した結果で、
y=4(x-2)/(x-4)、ただし、y>x
で表わされる。

xのとりうる上限は、
4(x-2)/(x-4)=x
より、4<x<4+2√2

回答No.13

Tacosan

ああそうか, 「直角を挟む辺のうち長い辺」なんですね... 求まらないよなぁ.
事実上 「(x-2)(y-2) = 8 であるような x の最大値」と等価な問題だから....

回答No.11

noname#101466

『直角を挟む辺のうち長い辺を求める問題』なのです。
2以上のxを用い、2(x-1)/(x-2)、によって、yを求めた時
y≦x、ならば、そのyは、『問題が直角を挟む辺のうち
長い辺を求める』との条件を満足しないので、解として
採用してはならない、と言っているのです。

l4330さんが求めた値を使わせてもらうと、
2<x<3.41、でなければならないことになりますね。

回答No.10

中京区 桑原町（@l4330）

1/tan(22.5) = 2.41 だから
画の x は3.41となり「x>2、のとき」の条件に合うが......
>y>x、でなければならないので
この条件に合いません、x=yです

回答No.9

noname#101466

y=x・tan(2θ)、とすると
tan(2θ)={2/(x-1)}/[1-{1/(x-1)}^2]
={2・(x-1)}/{(x-1)^2-1}=2・(x-1)/(x^2-2x)
=2・(x-1)/{x・(x-2)}

故に、y=2x(x-1)/{x・(x-2)}=2(x-1)/(x-2)
となります。もう一つの条件は、y>x、です。

これを使えば、x=3、のとき、y=4、斜辺は5
x=4、のとき、y=3、（斜辺は5）ですが、
y>x、でなければならないので、解ではない、となります。

回答No.8

noname#101466

上から5行目、が間違ってました。
y=x・tan(2θ)、ですね。
後は同じ要領でyが求まると思います。

回答No.7

中京区 桑原町（@l4330）

>y=(x^2-2x+2)/(x-2)、且つ、y>2
この式に疑問が......

x=3の場合
(3^2-2*3+2)/(3-2)
(9-6+2)/1 = 5

x=4の場合
(4^2-2*4+2)/(4-2)
(16-8+2)/2 = 5

回答No.6

noname#101466

直角を挟む二辺をx、yとします。

x>2、のとき、円を挟む二辺のなす角を
2θとすると、tanθ=1/(x-1)、です。
これから、
y=x/cos(2θ)、で、且つ、
y>xを満たすyが求める辺の長さとなります。

tanθ=sinθ/cosθ=1/(x-1)、なので
(tanθ)^2=(sinθ/cosθ)^2={1-(cosθ)^2}/(cosθ)^2
={1/(x-1)}^2
∴　(cosθ)^2=(x-1)^2/{(x-1)^2+1}

cos(2θ)=2・(cosθ)^2-1、であるから
cos(2θ)=2・(x-1)^2/{(x-1)^2+1}-1

従って、
y=x/cos(2θ)=x/[2・(x-1)^2/{(x-1)^2+1}-1]

これを整理すると
[]内=[2・(x-1)^2-{(x-1)^2+1}]/{(x-1)^2+1}
=x(x-2)/(x^2-2x+2)

故に、y=(x^2-2x+2)/(x-2)、且つ、y>2
となります。

回答No.5

Tacosan

念の為ですが, (x-2)(y-2) = 8 を満たす (x, y) の組は (3, 10) や (4, 6) 以外にも無数にあります.

回答No.4

中京区 桑原町（@l4330）

>この等式が成り立つようなx,yの組をみつける方程式です。
ありえません
x=2x
ここからxを求める様なもの