二重積分

質問

∬D (xy-y) dxdy [D:(x-1)^2+(y-1)^2≦1]です。

極座標での変換の仕方がわからなかったので、:x-1＝X、y-1＝Yなんて置いてみたりしましたがうまくいきません。

明日テストなんです；
お願いします。

どう解けばいいのですか

回答No.1

info22 · ベストアンサー

>なんて置いてみたりしましたがうまくいきません。
自分で判断しないで途中計算を書いて、どこがうまく行かなかったのか、
どこで行き詰ったのか補足に書いてくれないとどこで間違ったかチェック
できません。

>明日テストなんです；
>お願いします。
質問の問題の内容とは関係ないのでこういったことは書かないでください。

> x-1＝X、y-1＝Yなんて置いてみたりしました
方針は悪くありません。

変換すると
I=∬D' X(Y+1)dXdY, D':{(x,y)|X^2+Y^2≦1}
=∫[-1,1](Y+1){∫[-√(1-Y^2),√(1-Y^2)] XdX}dY
=∫[-1,1] (Y+1)*0 dY
= 0

極座標に変換する以前に積分がゼロになります。
もちろん、極座標に変換しても積分はゼロになります。

XY領域の被積分関数の図をプロットしました。
X>0とX<0の曲面がz軸方向に符号反対（Xの奇関数）になっているので、
積分領域全体の積分では±打ち消しあって積分がゼロになることが
分かるかと思います。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。変数変換がうまくいかなかったあとに強引にｘ、ｙの式を代入してみましたが、なんとか解くことができました。でもやはり、変数変換の方が楽ですね。

グラフまで使っていただき、本当にわかりやすかったです。