改めて。螺旋の式の導出お願いします。。。

質問

対数螺旋に関して以前質問した者ですが、前回あまりにも、漠然とした質問であったので以下のように質問内容を変更致します。

極座標上に点A,Bを取る。
点Aは、 r=s, θ=0 (但し、s>0)
点Bは、 r=m, θ=n (但し、m>s, n>0)
さらに、点Cをとる。(△AOBと△B0Cが相似になるようにする。)
さらに、点Dをとる。(△BOCと△CODが相似になるようにする。）
このように相似の三角形を次々に重ねていくとする。(m>sであるので三角形は次第に大きくなっていく）

以上の条件で、∠AOBを０に近づけていった時、点A,B,C,D…が螺旋を描くと思います。
原点から螺旋の弧までの距離をrとした場合、rをf(θ)で表すとどのような式になるのでしょうか？

回答No.1

oshiete_goo · ベストアンサー

∠AOB＝θ_0　・・・（１）
BO／AO＝m／s＝α(＞１)　・・・（２）
と書くとします．

隣り合う三角形は公比（２）の等比数列をなすので，
ΔAOBを初項(第１項)として，点Bに対応する第ｎ項の頂点B[n]は
偏角：θ＝ｎ・θ_0
絶対値：ｒ＝AO・α^n
を満たし，
ｒ＝AO・α^{θ／θ_0}
　＝AO・{e^(lnα)}^{θ／θ_0}
　＝AO・e^(aθ)
ただし，定数a＝(1／θ_0)lnα
また，lnαは底eの自然対数です．

このように，このモデルだと確かに対数螺旋に合います．
（もちろん，正確には∠θ_0ずつの三角形をつないだもので，少しギクシャクした折れ線ですが，近似的には十分な議論であり，ポイントを突いた適切なモデル化と言えるでしょう．）

お礼

なるほど・・・。
等比数列で
r=ＡＯ・α^{θ/θ_0}
と表せるところまではいったんですが・・・
α を e^(lnα) と表す所は浮かびませんでした。

確かに対数表示に直すと
α=e^(lnα) ====> lnα = lnα
となりますね。。。
わざわざ２度の質問に答えていただきありがとうございました。

回答No.3

siegmund

siegmund です．
tancoro さん，再質問を拝見しました．
既に oshiete_goo さんが回答を書かれていますので，蛇足の補足です．

> ∠AOBを０に近づけていった時、点A,B,C,D…が螺旋を描くと思います

三角形でやりますと，oshiete_goo さんご指摘のように，ギクシャクしてしまいます．
で，１ステップの角度θ_0 を小さくすればギクシャク度合いが少なくなり，
∠AOB = θ_0 → 0 の極限で滑らかな螺旋になるだろう，
という発想ですね．
発想はそれでよいのですが，
１ステップの角度を小さくすると同時に r の伸長割合α(oshiete_goo さん導入)
も変える必要があります．
極端な話，αをそのままでθ_0 = 0 とすると，
螺旋にならず x 軸の正の方向へ伸びてゆくだけになってしまいます．

では，θ_0 とαをどのように関連づけて変化させればよいか？
１ステップでθ_0，α変化しているのを，２ステップでやるとすれば
角度変化はθ_0/2，伸長割合は√αにすればよいわけです．
実際，これで２ステップやると，角度は(θ_0/2)×2 = θ_0 だけ回り，
辺の長さは (√α)×(√α) = α倍になります．
ステップが細かくなった分，ギクシャク度合いは少しましになりました．
同様に，もとの１ステップを M ステップに分割するなら，
角度は θ_0/M，伸長割合はα^(1/M) ということになります．
こうして M→∞ とすれば滑らかな螺旋になります．

前の回答で，
> 対数螺旋は，
> 原点を通るすべての直線はらせんと同じ角度で交わる，
> 自己相似である，
> などの性質を持っています．
と書きましたが，tancoro さんの三角形構成法ですとそれが明確に見えます．
自己相似は，次々に相似三角形を作ってゆくのですから明らかでしょう．
また，原点を通る直線と螺旋との角は，∠ABO，∠BCO，∠CDO，．．．
ですが，相似三角形からこれらの角はすべて等しいことになります．

お礼

> 極端な話，αをそのままでθ_0 = 0 とすると，
> 螺旋にならず x 軸の正の方向へ伸びてゆくだけになってしまいます．

おっしゃる通りです。
実は、質問を書いた後に自分でもしまったと思っておりました。

> 角度変化はθ_0/2，伸長割合は√αにすればよいわけです．

なるほど。
三角形AOBの形を崩さないで、無限個の三角形によって補間していけば、
直線AB -> 求める曲線
となりますね。
ありがとうございました。

回答No.2

oshiete_goo

＃１の補足です．
ｒ＝AO・e^(aθ)・・・（＊）
で止めましたが，
ｒ＝e^(aθ)
の形に合わせたければ以下のように可能です(角の原点の取り方[定義]だけの問題)．

前の係数AOは吸収できて
（＊）＝ｒ＝e^{a(θ－θ')}
ただし　θ'は　AO＝e^(－aθ') を満たす定数
となりますので，
φ＝θ－θ'
という新しい角の変数を用いると（角の変数の原点を取り直すことに相当）
ｒ＝e^(aφ)
という，最初にお書きになった式に相当する式が得られます．
（この式でも極座標の絶対値ｒと偏角φになっています）

お礼

AO = e^(-aθ')
θ' = -(1/a)・ln(AO)
つまり、
θ = -(1/a)・ln(AO)
の時を角の原点(φ=0)と取り直せば
対数螺旋の式に帰着するわけですね。。。
ありがとうございました。