解析

質問

acos^2θ+(b+c)cosθsinθ+dsin^2θ
について、a+d>0 ad-bc>0
ならば、この式は正になるということを示したいのですが、いまいちどうやればいいのかわかりません。
cosθについて平方完成をしたり、倍角を使ってやってみたのですができません。
お願いします。

回答No.3

nag0720

＃２さんの　(2) 倍角公式→合成　で計算すると、

acos^2θ+(b+c)cosθsinθ+dsin^2θ
=a(1+cos2θ)/2+(b+c)sin2θ/2+d(1-cos2θ)/2
=(a+d+(b+c)sin2θ+(a-d)cos2θ)/2
=(a+d+√((b+c)^2+(a-d)^2)*sin(2θ+α))/2
ただし、tanα=(a-d)/(b+c)

θを任意とすると、sin(2θ+α)の最小値は－１です。
したがって、上記の式が正になるためには、
a+d＞√((b+c)^2+(a-d)^2)
が成立しなければなりません。
両辺を自乗して整理すると、
4ad＞(b+c)^2

たとえば、
a=1,b=1,c=2,d=2.1　とすると、
a+d>0, ad-bc>0 は満たしますが、4ad＞(b+c)^2　は満たしません。
つまり、与式が負になるθが存在します（θ=(π-α)/2）。

お礼

ありがとうございます！
私も、やってみたらそうなりました。
なので先生の間違いだと思われます。
ありがとうございました。

回答No.2

naniwacchi

計算方針は、いろいろあるかもしれませんが。

(1) 変数を置き換える
tan(θ/2)= tとおくと、cosθ= (1-t^2)/(1+t^2), sinθ= 2* t/(1+t^2)と表されます。
（積分の問題でよく使われる置換方法です）
これを用いれば、tの式には変形できます。

(2) 倍角公式→合成
第2項は、sin(2θ)で書き換えます。
第1項と第3項については、cos(2θ)で書き換えます。
すると、▲×sin(2θ)＋■×cos(2θ)の形になります。
ここで三角関数の合成を使うことでまとめることができます。

(1)は式が複雑（4次式）になってしまいます。
(2)では、常に正になるということまでは言えません（でした）。

#1さんが指摘されているとおり、常に正になるとは言えないと思います。

お礼

解答ありがとうございます。
naniwacchiさんの（２）のようにやっていたのですが、常に正とはいえないですよね。
最小値が、正ということを言えればいいのかなと思いましたが、それもできませんでした。
ありがとうございます。

回答No.1

Tacosan

「正になる」という意味がよくわかりませんが, 少なくとも「θによらず正」ということはないです.
「正になるような θ が存在する」なら (当然ですが) 成り立ちます.

お礼

解答ありがとうございます。
説明不足ですみません。
θによらず正ということを言いたかったのですが。。できません。
最小値が、正ということを言えればいいのかなと思いましたが、それもできませんでした。
ありがとうございます。