難しい積分

質問

（１）

Ｉ＝∫∫ ｛（X＾2)＋（y＾2)｝dxdy, D：x＋y≦1,
D
x≧0,y≧0を求める

（２）

I=∫∫　　(X＋y)dxdy,D：x≧0,y≧0、
　　　D　　　　　　　　　　　（X＾2)＋(y＾2)≦a＾2
を求める。

できれば、数(2)の知識レベルでおしえてください

回答No.2

oshiete_goo

(1)まず図を描く．
任意のｙ（０≦ｙ≦１）をとって固定すると，
０≦ｘ≦1－y
の範囲についてｘで積分
出てきた式はｙのみの関数なので
０≦ｙ≦１
の区間についてｙで積分
答えは　1／6

（２）も同様．

回答No.1

waseda2003

(1) Dを図示してみると，xを固定すると0≦y≦1-xで，それを0≦x≦1について掃いたものと解釈できますから，

∬_D (x^2+y^2)dxdy = ∫_0^1 (∫_0^(1-x){x^2+y^2}dy) dx
と書き直せます。

(2) (1)と同様にして

∬_D (x+y)dxdy = ∫_0^a (∫_0^√(a^2-x^2){x+y}dy) dx

として計算できますが，Dが四分円なので

x=r*cosθ，y=r*sinθ，∂(x，y)/∂(r，θ)=r

により変数変換して

∬_D (x+y)dxdy = ∫_0^a (r^2)dr∫_0^(π/2) (cosθ+sinθ)dθ

と計算することもできます。

重積分からの質問ということは，大学生ですよね？