２重積分part２

質問

問１
A=∬D √(a^2-x^2-y^2)dxdy
を
領域Ｄ:x^2+y^2≦a^2

において２重積分を行なうのですが、
これはさっきのと比べながらやろうとしたのですが、

領域Ｄは半径ａの円の中であって・・・・・

これからどうすれば？

問２
領域Ｄ:0≦x+y≦1,0≦x-y≦1
のとき
A=∬D e^x dxdy
を求める。

領域を図示してみると
ちょうどx=1から負の方向だということがわかったのですが・・・
この場合、yの範囲を(x-1)～(-x+1)
とすればいいのですか？
でもそうするとｘの範囲は？？？

頭が正常に機能していないみたいです。
助けてください。

回答No.1

kony0 · ベストアンサー

問１は、有名な変数変換x=r*cosΘ, y=r*sinΘを行います。
このとき、ヤコビアンを考えて、dxdy=r*drdΘとなるはずです。
（教科書かなにかで調べてください）
この変数変換を行うと、rは0～a、θは0～2πの間で積分すればよいことになりますよね？

問２は、(0,0)(1/2,-1/2),(1/2,1/2),(1,0)を頂点とする四角形が積分範囲かと思いますが、
xが0～1/2のときはyの範囲は-x～x、xが1/2～1のときは、yの積分範囲はx-1～1-xとしてあげればよいのでは？
もしくは、x+y=u, x-y=vとおいてヤコビアンを考える方法ももちろんありでしょう。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.2

i536

(1)の積分の範囲は、
(x=-a～+a)(y=-√(a^2-x^2)～+√(a^2-x^2))あるいは
(x=0～+a)(y=0～+√(a^2-x^2))とし積分値を４倍するのもいいとおもいます。
半径aの半球の体積になります。

(2)の積分の範囲は、kony()さんがすでに書かれていますように
領域を２つに分けて積分します。

お礼

回答ありがとうございました。