√2,√3,√5,√6,√7,√10は有理数体上線形独立

質問

文字を有理数として、
a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10=0
ならば
a=b=c=d=e=f=0
を示したいのです。

平方根の中身は、平方因数を外にくくりだしたとき、中身が異なるものであればなんでもいいです。
個別の数値の性質を用いるのではなく、できるだけ一般的に示したいのですが、証明がわかる方は教えていただけないでしょうか?

回答No.2

33550336 · ベストアンサー

一般的に示したいなら代数拡大の理論を使えばいいのではないでしょうか。

例えば上記の問題の場合、√2,√3,√5,√6,√7,√10は全てQ[√2,√3,√5,√7]に含まれており、
Q[√2,√3,√5,√7]/Qは次数１６の代数拡大です。
この拡大を次数２の４つの体の拡大の列に分解すればQ[√2,√3,√5,√7]のＱ上の基底を計算で求められます。
特にその基底の中に√2,√3,√5,√6,√7,√10が全てはいるのでこれらはＱ上一次独立です。

この方法なら数字が変わっても、数字の個数が増えても計算がややこしくなりますが証明することができます。

お礼

ありがとうございます。わかりました。
a,b,c,d,e,f∈Qの少なくとも一つが0でないとき、
a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10は無理数である
ことの証明も気になっていましたが、同様に出来そうです。

a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10=r(有理数)
と仮定すると、
-r+a√2+b√3+c√5+d√6+e√7+f√10=0
1,√2,√3,√5,√6,√7,√10はＱ上一次独立なので、r=a=b=c=e=f=0となり矛盾。

回答No.1

rabbit_cat

a√α + b√β= 0 （α,β:互いに異なる自然数、a,b:有理数）
と書けるとすると、αとβの最大公約数γとして、√γで両辺を割ってしまえば、
a√α + b√β= 0 （α,β:互いに素な自然数、a,b:有理数）
と書けるとしてＯＫです。（α、βの一方が平方数の場合もありえます）
で、
√(α/β) = -b/a
と書けるんで、右辺が有理数、左辺は無理数 で矛盾
左辺が無理数ていう証明は、普通に、√２が無理数の証明と同じようにできます。

補足

2つの平方根の独立性ではなく、6つ(もしくは一般にn個)の平方根(簡約したときに中身が同じでないもの同士)の独立性をお願いしています。