？？？この数学の問題論理的に説明してくれる方いませんか？？？

質問

放物線ｙ＝ax^2-(a+1)x-a-3がー1＜ｘ＜０、１＜ｘ＜２の範囲で、それぞれｘ軸と一点で交わるように、定数aの範囲を定めよ。

質問がおかしいと思われる方もいるかもしれませんが質問させていただきます。
この問題の解き方はｆ（P）ｆ（Q)＜０を利用しそれぞれ範囲を求めます。
そしてそれが両方成り立てばいいので共通範囲を求めます。
なんとなく理解できるのですが、これだとaが正の場合と負の場合の範囲を両方考慮して求めているのか疑問に思いました。
長々しく書きましたが皆様にお聞きしたいのは、これだとaが正の場合と負の場合の範囲を両方考慮して求めているのかということです。またそうであるなら説明していただけると幸いです。

という質問をした所

では，まずaの正負で場合分けした場合を考えます．
a>0の場合は
(ア)-1<x<0で交わる場合
f(-1)>0.f(0)<0・・・(1)
(イ)1<x<2で交わる場合
f(1)<0.f(2)>0・・・(2)

a<0の場合は
(ウ)-1<x<0で交わる場合
f(-1)<0.f(0)>0・・・(3)
(エ)1<x<2で交わる場合
f(1)>0.f(2)<0・・・(4)

として解いていき，求める範囲は
●((1)【または】(3))【かつ】((2)【または】(4))
ですよね．

という回等をいただきました。

しかし、((1)【または】(3))【かつ】((2)【または】(4))は少し違う気がします。 なぜなら、または(1)または(3)かつ
(2)または(4)だと(1)と(4)や(3)と(2)という共通範囲までとってしまうので、そうなってしまうと負と正のグラフが混同した蛇みたいなグラフも考えることになります。それっておかしくないですか？？？

長文失礼いたしました。
誰か、そう思いませんか？？？

回答No.2

naniwacchi

＞なんとなく理解できるのですが、
＞これだとaが正の場合と負の場合の範囲を両方考慮して求めているのか疑問に思いました。

両方考慮されています。
というよりも、「場合分け」の内容を「合わせた」と考えた方がよいと思います。
（下のところで、説明します）

＞●((1)【または】(3))【かつ】((2)【または】(4))
これはおかしいと思います。
というのも、(1)と(3)はそれぞれ a>0の場合と a<0の場合という
別々の場合分けから得られている条件です。
そもそもの場合分けが違うものを合わせるのは、おかしいと思います。

あくまでも、
・a>0のとき、(1)かつ(2) …正のグラフ
・a<0のとき、(3)かつ(4) …負のグラフ
となります。
なお、a=0のときは x軸と2点で交わらないので除外になります。
すなわち、a≠0です。

(1)ならば、f(-1)*f(0)< 0
(3)ならば、f(-1)*f(0)< 0
逆に、f(-1)*f(0)< 0 ならば (1)か(3)が成り立つ。
つまりaの値に関係なく（ただしa≠0）、f(-1)*f(0)< 0であると言えることになります。

同様に、(2)と(4)も aの値に関係なく f(1)*f(2)< 0であると言えます。

ざっくりした表現ですが、
「a>0とa<0で場合分けしたけど、結局 f(-1)*f(0)< 0と f(1)*f(2)< 0に集約されました」
というところでしょうか。

言葉があいまいかもしれませんが、ご容赦ください。

お礼

いえいえ、まったくあいまいだなんて感じませんでした。
むしろ、とても僕にとっては親切で感動しました。
これからも質問していくつもりなので僕が困った時は助けてくれると嬉しいです。

回答No.1

NovaYou

「a>0の場合は(1)かつ(2)、a<0の場合は(3)かつ(4)」
と言いたかったのではないでしょうか？

また、
>>この問題の解き方はｆ（P）ｆ（Q)＜０を利用しそれぞれ範囲を求めます。
>>そしてそれが両方成り立てばいいので共通範囲を求めます。
>>なんとなく理解できるのですが、これだとaが正の場合と負の場合の範囲を両方考慮して求めているのか疑問に思いました。

a>0のとき
(1)...f(-1)>0&f(0)<0、つまり、プラスxマイナスでマイナス
(2)...f(1)<0&f(2)>0、つまり、マイナスxプラスでマイナス

a<0のとき
(3)...マイナスxプラスでマイナス
(4)...プラスxマイナスでマイナス

結局は、aが正でも負でもf(P)f(Q)はマイナスになっていませんか？

また、
a>0のとき（グラフは下に凸、つまりU字）
(1)...f(-1)>0&f(0)<0
(2)...f(1)<0&f(2)>0
は、図を描けば分かると思いますが、
>>ー1＜ｘ＜０、１＜ｘ＜２の範囲で、それぞれｘ軸と一点で交わる
ということは、
x=-1の時、x軸より上で、x=0の時x軸より下にくるようにグラフが書けると思います。
もう片方の範囲も考えると、
x=1の時はx=0がx軸より下にあるので、下から上に向かう方向、
つまり、x=1の時はx軸より下、X=2の時はx軸より上となります。