代数学の直積に関する質問です
代数学の質問です
<a>,を<b>1と異なる２つの巡回群とするとき、<a>×<b>が巡回群であるための必要十分条件は、o(a),o(b)がともに有限で、かつ互いに素であることを示せ
資料を参考にしながら、十分条件は示すことができ
たと思うのですが、必要条件の証明の方法がわかりません
ちなみに、十分条件の証明として、
<a>×<b>の元(a,b)の位数は、(a,b)^s=(a^s,b^s)が単位元(1,1)に等しいためには、a^s,b^sがともに単位元である必要があるため、sがm,nの公倍数であることと同値である。m,nは互いに素であるためsがmnの倍数であることと同値である
という証明で良いでしょうか
よろしくお願いします
