三角関数の合成の公式 αの求め方

質問

[公式]
ａsinθ+ｂcosθ＝√（ａ×ａ+ｂ×ｂ）sin（θ+α）

この公式内の「α」はどのように求められるのでしょうか。どなたか教えて！ください。

回答No.1

naniwacchi · ベストアンサー

三角関数の合成の公式は、加法定理の公式の応用になります。

ａsinθ+ｂcosθは、a* sinθ+ b* cosθと書いた方がいいです。
（見やすさの問題ですが）

この「a」や「b」が、cosαや sinαの置き換わると加法定理が使える形になります。
ただし、このままでは「a」や「b」が１よりも大きいこともあるので置き換えられません。
（-1≦sinα≦1、-1≦cosα≦1なので）
そこで、以下のような手順で変形します。

(1)まず、√(a^2+b^2)でくくりだします。
すると、sinθ、cosθの係数は、それぞれ a/√(a^2+b^2)、b/√(a^2+b^2)となります。

(2)ここで加法定理の形に持っていきます。
a/√(a^2+b^2)= cosα、b/√(a^2+b^2)= sinαと置きます。

(3)加法定理（の逆）を使います。
a* sinθ+ b *cosθ
= √(a^2+b^2) * {a/√(a^2+b^2)* sinθ+ b/√(a^2+b^2)* cosθ}
= √(a^2+b^2) * {cosα* sinθ+ sinα* cosθ}
= √(a^2+b^2) * sin(θ+α)

この手順を抑えておけば、公式を忘れていても導き出せると思います。
加法定理の公式は覚えておく必要がありますが。