三角関数の合成

質問

私は数学のド素人でして、基本的な（？）三角関数の問題で悩んでおります。

y1 = A1 * sin(x - α1)
y2 = A2 * sin(x - α2)

とおいたとき、

y = y1 + y2 = A * sin(x - α)

の A および α を、それぞれA1、A2、α1、α2を用いて表すことを考えております。もし分かれば解法も教えていただきたいと思いますが、表記が煩雑な場合や、公式などで解のみをご存知の場合、解のみの回答でも構いません。

どうかよろしくお願いいたします。

回答No.2

guiter · ベストアンサー

少し大変ですが次のように出来ます。

y = y1 + y2
　= A1*sin(x - α1) + A2*sin(x - α2)
　= A1*{sin(x)cos(α1)-cos(x)sin(α1)} + A2*{sin(x)cos(α2)-cos(x)sin(α2)}
　= {A1*cos(α1)+A2*cos(α2)}*sin(x) - {A1*sin(α1)+A2*sin(α2)}*cos(x)

ここで、
　B1 = A1*cos(α1)+A2*cos(α2)
　B2 = A1*sin(α1)+A2*sin(α2)
とおきます。

(1) B1 = 0 の場合
　y = -B1*cos(x)
　　= B1*sin(x-π/2)
　　= {A1*cos(α1)+A2*cos(α2)}*sin(x-π/2)

(2) B1 ≠ 0 の場合
　y = B1*sin(x) - B2*cos(x)
　　= √(B1^2 + B2^2) * sin(x-α)
　　= √(A1^2 + A2^2 + 2*A1*A2*cos(α1-α2) ) * sin(x-α)
　ただし、
　　tanα = B2/B1

ということになります。

お礼

式の導出までしていただき，大変ありがとうございました。非常に参考になりました。

回答No.1

ymmasayan

２つの方法があります。
（１）ｓｉｎの和・差の公式を使う。
　　　ｓｉｎ（Ａ＋Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ＋ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ
　　　ｓｉｎ（Ａ－Ｂ）＝ｓｉｎＡ・ｃｏｓＢ－ｃｏｓＡ・ｓｉｎＢ
　　これを使って式を整理整頓する。

（２）正確ではないですが図式解法
　　　ｖ１とｖ２をグラフ用紙上でベクトル合成してＡとαを求める。

お礼

早速のご回答，大変ありがとうございました。