波の式 y=Asin2πx/λ の導き方について

質問

問題文に載っていた画像に当てはまるものがなかったので以下の画像で代用させていただきます。http://www.h5.dion.ne.jp/~antibody/schroedi.files/wave.gif
　上の画像は振幅Aの正弦波の、時刻t=oにおける位置xでの変位yを表している。(波は右側に進んでいて、x軸が位置、y軸が変位です。あとは問題文と変わりません。)

問題は、「この正弦波の時刻t=0における位置xでの変位は、y=Asin○○と書ける」というものです。
解答では、図も波形の式は、y(x)=Asinθと表せる。
距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化するのでλ:2π=x:θ
よってλθ=2πx
θ=2πx/λ
代入してy=Asin2πx/λ　(答えは2πx/λ)

となってます。最初はこれで納得できたのですが、そもそも
＞距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化する
というのはなぜ-2πではだめなのでしょうか？画像のグラフにおいて
t=oにおいてx=oの位相が2πだった場合x=2πの位相は0なので、1波長x軸方に進めば2Π遅れると考えられるので、λ:-2π=x:θとしてもいいのでは思ったのです(答えは違うのですが)。

また、もしグラフが上記URLの画像のグラフをx軸対称にされたもの(つまりy=-sinx)やy=conxでも
＞距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化するので
という考えは通用してしまいます。その場合はどのように考えればよいのでしょうか？

回答No.2

noname#56760 · ベストアンサー

実際に角の動きを動で感じてみては如何でしょうか？
用意するものはアナログ時計でアナログメーターとして使います(想像で構いません)。
時針しか使いません。時針は波の高さを表します(12時；最大　6時；最低　3時、9時；０)。３時の位置からスタートし、反時計周りを正とすることにします(三角関数の単位円のグラフ同様)。
ｘ＝０の位置から波の高さを辿っていくと、
０⇒最大⇒０⇒最低⇒０・・・　という風に繰り返しであることが分かります。
時針の動きに注目すると
3時⇒12時⇒9時⇒6時⇒3時　とずっと回り続けていることが分かります。
λの位置に来ると、時針が反時計回りに1回転(回転角度＋２兀)するわけですから、
ｘの位置に来たとき、時針の回転角度をθとして式を立てます。
これが
λ:2兀=x:θ　です。

－2兀ならどうなるのかということですが、時針の回転方向がさっきと
逆になります。
3時⇒6時⇒9時⇒12時⇒3時
つまり
０⇒最低⇒０⇒最大⇒０
グラフを描けば分かりますがさっきと位相は兀ずれです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
　単振動的に考えるということですね。実はその考えが通用するのかで悩んでいたんです。単振動のグラフだと横軸がt(時刻)、縦軸が変位(高さ)だから、t(時刻)をx(位置)と代えてもいいのかな？と思ったわけです。

　でもグラフでは「位相を求めよ」でなく、「波の式を求めよ」だからこの考えはここではOKであることが回答をみてわかりました。つまり単振動のグラフにおいてtをxで置き換たものと見てもよいということです。

　その考えなら、y=-sinx、y=cosx、などの形をした波の式も始まりをy=-sinxなら時計の9時からスタートとし、単振動における初期位相であるπを足し
y=Asin(2πx/λ+π)
y=-Asin2πx/λ

y=cosxなら時計の12時からスタートとし、単振動における初期位相である1/2πを足し
y=Asin(2πx/λ+1/2π)
y=Acos2πx

わかりやすい説明ありがとうございました。これで次の問題に気持ちよく進めます。

回答No.4

sanori

＞＞＞
＞サインは偶関数なので
y=sinxは奇関数だと思うのですが・・・。

そのとおりですね。
書き間違いました。失礼しました。

回答No.3

sanori

再び登場。

＞＞＞
なぜ位相がπずれるのでしょうか？２πを－２πに替えることと、位相をπずらすことは同じなのは数学的にはわかったのですが、物理的にはピンときません。もしよろしければ教えていただけないでしょうか。

サインは偶関数なので、
Ａsin（－２πｘ／λ）　＝　－Ａsin（２πｘ／λ）
です。
つまり、－２πで考えれば、Ａsin（２πｘ／λ）を上下反転したものになるわけです。

ここで、ご質問文に貼ってあるリンクの図を見ましょう。

πのところから始めれば、０から始めたのと上下反転していますよね？

ですから、上下反転（－２πの考え方）するのと、位相がπだけずれるのとは、同じことなのです。

お礼

ご回答ありがとうございます。

＞サインは偶関数なので
y=sinxは奇関数だと思うのですが・・・。

それは別として
＞πのところから始めれば、０から始めたのと上下反転していますよね？
確かにそうですね。図でみるとわかりやすいものですね。

いろいろ難しいところがありましたが頑張って理解したいと思います。

回答No.1

sanori

こんばんは。

＞＞＞
最初はこれで納得できたのですが、そもそも
＞距離が1波長違えば、位相は2πだけ変化する
というのはなぜ-2πではだめなのでしょうか？

－２πでもいいですよ。
位相がπずれるだけです。

ｘ：λ　＝　θ：－２π
θ　＝　－２πｘ／λ

Ａsinθ　＝　Ａsin（－２πｘ／λ）

試しに、位相をπだけ ずらします。
θ＋π　＝　－２πｘ／λ ＋ π
Ａsin（θ＋π）　＝　Ａsin（－２πｘ／λ　＋　π）
　＝　Ａsin（－２πｘ／λ）cosπ　＋　Ａcos（－２πｘ／λ）sinπ
　＝　－Ａsin（－２πｘ／λ）　＋　０
　＝　－Ａsin（－２πｘ／λ）
　＝　Ａsin（２πｘ／λ）

というわけで、
２πを－２πに替えることと、位相をπずらすこと（早めても遅らせてもよし）とは同じであることがわかりました。

ちなみに、
開始時刻を、周期の２分の１だけずらしたものとも一致します。

補足

早速のご回答ありがとうございます。
＞－２πでもいいですよ。
＞位相がπずれるだけです。
なぜ位相がπずれるのでしょうか？２πを－２πに替えることと、位相をπずらすことは同じなのは数学的にはわかったのですが、物理的にはピンときません。もしよろしければ教えていただけないでしょうか。