これは間違っていますか？

質問

今、fは(x,y)で連続、かつ1回x,yについての偏微分可能とする。
このとき、
u(x,y)＝∂f/∂x＝lim(h→0)1/h｛f(x＋h,y)-f(x,y)｝とすれば、

∂u/∂y＝lim(k→0)1/k｛u(x,y＋k)-u(x,y)｝と表せる。さらに
ここでは∂u/∂yも存在し、(x,y)で連続とする。
しかし、もともと、hは十分小さい条件であるため、
∂u/∂y＝lim(h→0)1/h｛u(x,y＋h)-u(x,y)｝・・・・・(1)
でも表すことはできる。
果たして(1)の式は間違っていますか？

回答No.2

alice_38

式(2)は、違います。
♯1に「limの中の式の変数名と衝突さえしなければ」
と書いておきました。

f(x) = sin x を f(t) = sin t と書いても
f の意味は変わりませんが、
f(x,t) = t sin x を f(t,t) = t sin t と書いたら
f(x,t) と f(t,t) は異なる関数です。
一方は二変数、もう一方は一変数関数ですね。

(2)では、二つの h が衝突して
混同されているのです。

回答No.1

alice_38

式(1)は、合っています。

関数 f(x) = sin x のことを
f(t) = sin t と書いても
f の意味は同じだったり、
総和変数を Σ[k=1…n] a(k) と書いても
Σ[j=1…n] a(j) と書いても同じ式
だったりするのと同様に、
lim の変数も、lim の中の式の変数名と衝突さえ
しなければ、適当に置き換えて構いません。
ここまでは、微分や極限とは直接関係がない、
変数名についての単純な話です。

しかし、「もともと、h は十分小さい」云々
の箇所を見ると、何か変な誤解をしている印象
が拭いきれません。
貴方が何に戸惑っているのか、
もう少し詳しく聞いてみたい気がします。

補足

回答ありがとうございます。
もしも、(1)が正しいと仮定すれば、
∂u/∂y
＝lim(h→0)1/h｛u(x,y＋h)-u(x,y)｝
＝lim(h→0)1/h｛1/h(f(x＋h,y＋h)-f(x,y＋h)-f(x＋h,y)＋f(x,y))｝
・・・・（２）
という式でかけてしまう。
すなわち、yの微小変化量をxの微小変化量と同じ量で近づくことを意味する。
「もともとhは十分小さい」という書き方はあまりよくないですね。
すみません。
そうなると、(2)の式は間違っていますか？
∂f/∂xの存在性、∂u/∂yの存在性の仮定からしても
yの微小変化量をxの微小変化量と同じと考えても
(2)で表せると思って、
さらには偏微分の順序交換fxy＝fyxが成り立つ証明にも使えるのでは
ないかと。