拡散方程式

質問

∇^2・ρv(Ｒ)=1/Ｒ^2・∂(Ｒ^2・∂ρv/∂Ｒ)=0

を解いたら

ρv(R)=ρv∞-(ρv∞-ρvr)ｒ/Ｒ

になるそうなのですが解けません。どなたか教えて頂けないでしょうか。
ちなみに境界条件は、Ｒ→∞でρv→ρv∞、Ｒ→ｒでρv→ρvrです。

回答No.2

noname#95312 · ベストアンサー

極座標で表わした二階微分のようですが、変数は半径方向長さだけのようですね。
従って、単に
d^2{ρv(R)}/dR^2=(1/R^2)・d{R^2・d(ρv)/dR}=0 とできます。

d{R^2・d(ρv)/dR}=0
2R・d(ρv)/dR+R^2・d^2(ρv)/dR^2=0
2・d(ρv)/dR+R・d^2(ρv)/dR^2=0

p=d(ρv)/dR　とすると
2・p+R・dp/dR=0
dp/p+2・dR/R=0
ln(p)+2・ln(R)=ｃ'

p・R^2=c1
p=c1/R^2
d(ρv)/dR=c/R^2
ρv=(-c1/R)+c2

R → ∞ のとき、ρv→ c2 であるが
これがρv∞ となるので、c2=ρv∞

R → r のとき、ρv→ (-c1/r)+ρv∞ であるが
これがρvr となるので、(-c1/r)+ρv∞=ρvr
∴　c1=(ρv∞-ρvr)ｒ

従って、ρv(R)=ρv∞-(ρv∞-ρvr)(ｒ/R)

お礼

ご回答ありがとうございます。
お陰様で無事解く事が出来ました。

回答No.1

Ae610

1/Ｒ^2・∂/∂Ｒ{Ｒ^2・∂ρv/∂Ｒ}=0

ρに関する条件が無いので、ρ=一定として考えます。
すると
与式＝ρ｛2/Ｒ・∂v/∂Ｒ+∂^2(v)/∂Ｒ^2｝＝0 (一応ρ≠0としておく)
∂v/∂Ｒ＝V・・・(1)とでもおくと
ρ｛2/Ｒ・V+dV/dR｝＝0 ・・・(2) (VはRのみの関数だから∂V/∂Ｒ＝dV/dR)

(2)の微分方程式を解く
(2)で得られた解を(1)の関係式に代入して解く
境界条件Ｒ→∞でv→v∞、Ｒ→ｒでv→vr
により、積分常数c1,c2が定められる。