一次変換の問題

質問

座標平面に異なる点P1、P2、P3、P4があり、一次変換fにより、P2はP1がfにより変換されたもの、P3はP2を・・・という点であり、P2,P3,P4は同一直線上にあるとき、P5も同一直線上にあることを示せ。
という問題ありました。
Pnの点を(Xn、Yn)として頑張ってみましたができません。
どう解いたらよいでしょうか？

回答No.4

arrysthmia

一次変換は、直線を直線へ移すので、
P2, P3, P4 が一直線上にあれば、
fP2, fP3, fP4 すなわち P3, P4, P5 も
一直線上にあるのです。

直線は通過する二点で決まるので、
P2, P3, P4 と P3, P4, P5 が各々一直線上にあれば、
P2, P3, P4, P5 全てが同一直線上にありますね。

←A No.2
「一次変換」は、No.2 よりも No.1 が正しい。
訂正の必要は無かった。

回答No.3

naniwacchi

P1～P5は、位置ベクトルとして扱うこととします。
（これは、#1の方も同じ扱いをしていると思います。）

fによって変換された位置ベクトルを、f(P1), f(P2),…と表すことにします。
すると、f(P1)=P2, f(P2)=P3, f(P3)=P4, f(P4)=P5 と表すことができます。

「P2,P3,P4は同一直線上にある」ことから、P2-P3 = k*(P3-P4)（kは実数）…(式１)と表すことができます。
この式に変換fをかけてしまいます。
すると 1次変換の「線形性」より
f(P2)-f(P3) = k*{f(P3)-f(P4)}
となり、P5=f(P4)を P4とP3で表すことができるようになります。

最終的には、P5-P4が （P1, P2, P3, P4のいずれか2つの差）×定数倍という
（式１）と同じ形に表されればいいので、これを示します。

このように図形的な性質を問うような問題では、
位置ベクトルと線形性を使うと成分計算なしでできる場合もあります。

回答No.2

nag0720

＃１です。訂正です。
一次変換は、2×2の変換行列AとベクトルBとで、
P2=AP1+B
P3=AP2+B
P4=AP3+B
P5=AP4+B
とすべきでした。
その後は同じです。

回答No.1

nag0720

一次変換fは行列で表現できますから、その変換行列をAとすると、
P2=AP1
P3=AP2
P4=AP3
P5=AP4

P2,P3,P4は同一直線上にあるということは、
P4-P3=a(P3-P2)

以上から、
P5-P4=a(P4-P3)
を導き出しましょう。