√の計算について

質問

どうしてもわからなくて困ってます。
　　　　　　　2
16－x＝√x－64

※x二乗－64は√内の計算です。

答えはx＝10になるのですが、過程が省かれていてわかりません。
どなたかお願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#4です、
A#4の補足について

補足の方法は
方法１）の方法ですので
そこに書いたとおり、同値関係を保った解きかたで無いための
でてきた答えの「x=10」が元の方程式を満たすことの確認を
おこなわないと解答としては不完全で減点されます。
元の方程式を満たす確認作業を補足の解答の後に
追加して下さい。そうすれば減点されません。

x=10を与えられた方程式
16－x＝√(x^2－64) …(A)
に代入すると
左辺=16-10=6
右辺=√(10^2-64)=√(100-64)=√36=6
となって(A)を満たす。
よって、x=10　は(A)を満たす。
（答え）x=10

上のことを理解する為に以下の方程式を解いてきてください。
そうすると方法１）の確認作業の意味が分かるでしょう。

x-16=√(x^2-64)
を方法1）の方法で解いてみて下さい。
解なし。という答えになります。

回答No.6

arrysthmia

←No.4 補足

A No.3 に「理解できました」と
応答いただいて、安心しておりましたが、
No.4 補足を拝見すると、
どうも、御理解いただけていなかった
ようで、たいへん残念です。

16-x≧0 を忘れずに …と書いておいたハズです。
あとは、「x=10 なら 16-x≧0 を満たすから十分」
と書けば完了だったのに。

回答No.4

info22

√を含む方程式は２乗してルートをはずしますが
その時、同値関係が保たれません。

同値関係を保たないと、意味のない無縁解が紛れ込みます。

対策としては以下の２通りあります。
方法１）
同値関係が崩れても、２乗してルートをはずし、方程式を解く。
といた解には無縁解が含まれている可能性がありますので、求まった解を
ルートのある最初の式に代入して方程式を満足していないもの（無縁解）を排除し、満たすものだけを解とする。

方法２）同値関係を維持しながら、２乗してルートをはずし方程式を解き、同値条件を満たすものを解とする。

方法２)での解法
16－x＝√(x^2－64) …(A)
２乗すると失われる同値条件
16-x≧0　かつ　x^2－64=(x-8)(x+8)≧0　(√内は非負)
まとめると
x≦-8, 8≦x≦16 …(B)

(B)の同値条件の下に　(A)を二乗して
(16-x)^2=x^2-64 …(C)
これを整理して解くと
x^2-(x-16)^2-64=0
16(2x-16)-64=0
32で割ると
x-8-2=0
∴x=10
これは条件(B)を満たすので
x=10
が答えになります。

お礼

B条件になるのでしょうか…？
　　　　　　　　2
16－ｘ＝√ｘ－64
　　　　　2　　2
（16－x）＝ｘ－64

カッコを外して
　　　　　　　　　2　　2
256－32ｘ＋ｘ＝x－64

x二乗が消えて

－32ｘ＝－320

x＝10

やり方としては合っていますでしょうか？

回答No.3

arrysthmia

式の中で扱い難い部分をカタマリにして、
文字で置き換える …という小技は、
割りと多くの場面で、役に立ちます。

ここでは、√を式から取り出して、
r = √(x~2-64)
16-x = r
と、してみましょう。
上の式は、√の定義より、
r~2 = x~2-64 かつ r ≧ 0
と同じですね。
そこへ、下の式を代入して、
r を消せばよい。
16-x ≧ 0 という条件が付いていることを、
最後まで忘れずに。

お礼

理解でしました！
有難うございました。

回答No.2

mappy0213

√があるからややこしいんですよね
では√を外しましょうよ

お礼

√を外して二乗理解できました！
有難うございました。

回答No.1

okg00

ヒント：両辺を２乗

お礼

二乗理解でしました！
有難うございました。