部分集合 真部分集合 違い

質問

部分集合と真部分集合の記号についての質問です。
過去に同様の質問がされて回答を読みました。
過去のQAです。→http://okwave.jp/qa297643.html

部分集合とは、集合Aに対して集合Bが「B⊂A」の時と「B⊂AかつB=A」の場合の二つがあると思います。
ここで、「B⊂A」を真部分集合と呼ぶ。これは、理解できます。
「B⊂AかつB=A」の方が特殊のような気がするのでこちらを真部分集合として欲しい気持ちはありますが・・・
（私の認識に間違いがありましたらご指摘頂けるとありがたいです）

ここで疑問です。
⊂は部分集合を表す記号の筈なのに、Windowsの変換では⊆が部分集合で⊂が真部分集合なんです。
どちらが正しい部分集合の記号なのでしょうか？

ご回答よろしくお願い致します。

回答No.5

arrysthmia

＞ しかし、義務教育では部分集合の記号は⊂なのです。

そうでしたか。ゆとりが何とか言われながら、
昔よりマシになっている部分もあるのですね。
私が小学生のころには、算数の教科書に
部分集合が「⊆」で真部分集合が「⊂」だと
書いてあったのです。
世界では通用しない、検定教科書独特の記号法でした。
「＜」からの類推で「⊂」を真部分集合に使うから、
部分集合は「⊂ または ＝」で「⊆」になってしまう。

「⊂」は部分集合に使うほうが常識ですから、
真部分集合は「⊂ かつ ≠」になるのです。
先にも書いたように、これを意味する記号で
「⊂」の下に「≠」をくっ付けた文字も、
印刷媒体では使われます。
A⊂B ⇔ ∀x, x∈A ⇒ x∈B　が、内容も、記号も、
一番シンプルで基準なんですよ。

お礼

ご回答ありがとうございます。
A⊂B ⇔ ∀x, x∈A ⇒ x∈B　が部分集合を表すには一番適当ですね。

記号の定義が良くわからなかったもので・・・
ただ、参考書等では、⊆が部分集合で⊂（「⊂」の下に「≠」）が真部分集合を表わす表現もある事を頭に入れて起きます。

すっきりしました。ありがとうございました。

回答No.4

arrysthmia

←No.2 補足
失礼、誤字がありました。
義務教育式の記法では、
部分集合が「⊆」、真部分集合が「⊂」ですね。
逆に書いていました。

義務教育を受けている間は、
教科書にそう書いてあるのですから、
減点対象にはならないでしょう。

大学以降になると、文科省のローカルルールではなく、
世間の常識に合わせる必要が出てくるので、
部分集合「⊂」、真部分集合「⊂かつ≠」
でないとマズくなります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
混乱してきました・・・

不等号の対応が良いというのは、
部分集合⊆が≦と対応して、真部分集合⊂が＜と対応する事を言っていますよね。
これは、納得できます。Windowsでの変換も上記に対応しています。

しかし、義務教育では部分集合の記号は⊂なのです。
真部分集合は部分集合の中の一つですから、⊂は間違いで無い事は理解出来ます。
部分集合は『B⊂AまたはB=A』に対応させて新たに⊆という記号を部分集合としたと言う認識で良いでしょうか？

元々、真部分集合を『B⊂AかつB≠A』と定義している事が理解出来ません・・・
なぜ、『B⊂AまたはB=A』を真部分集合と定義しなかったのでしょうか？
集合Aと集合Bが同じ場合の方が特殊な気がするのですが・・・
この辺りもご教示頂けるとありがたいです。

回答No.3

sinisorsa

単なる記号の問題ではないと思います。
「集合Ａが集合Ｂの部分集合である」の定義は
集合Ａの任意の要素が必ず集合Ｂの要素でもあるとき、集合Ａは集合Ｂ
の部分集合（subset)であるという。
これを　Ａ⊂Ｂと書くかＡ⊆Ｂと書くかは流儀があると思います。
Ａ⊆Ｂの方が素直な気がしますが。
真部分集合の方は、集合Ａが集合Ｂの部分集合であって、かつ
少なくともＢの１つの要素がＡの要素でないとき、
集合Ａは集合Ｂの真部分集合(proper subset)という。記号の方は、
部分集合の記号の定義と連動して、定められていると思います。
なお、集合Ａが集合Ｂの真部分集合であるとき、
集合Ｂの部分集合でもあるということに注意しましょう。

補足

ご回答ありがとうございます。
なるほど、新部分集合は集合Ｂの部分集合でもあるわけですね。

一般的には、部分集合を表す場合は、Ａ⊆Ｂ表記という認識で良いのでしょうか？

回答No.2

Tacosan

「B⊂AかつB=A」ではなく「B⊂AまたはB=A」ですね.

回答No.1

arrysthmia

記号の定義に少し揺らぎがありますが、
「B⊂A」は、部分集合という意味が標準です。
真部分集合は、「B⊂A かつ B≠A」と書きます。
「⊂」の下に「≠」をくっ付けた記号もある
のですが、パソコンでは使えないようですね。

部分集合を「⊂」、真部分集合を「⊆」と書く
記法は、マイナーな方言ですが、
確か、学習指導要領がそうなっているので、
日本では普及しています。
「＜」「≦」との対応が良くて、個人的には
嫌いじゃないんですが…

補足

ご回答ありがとうございます。

「＜」「≦」の対応から、部分集合を「⊂」、真部分集合を「⊆」とするのが
一般的という事で良いでしょうか？

例えば、テストなどでは減点対象になりませんかね？