-１の指数法則

質問

指数法則ってありますよね。
そのなかの(a^p)^q = a^pq　（^は累乗）の法則はa=-1のときは成り立たないのでしょうか。
つまり、
(-1)^2 = 1
1^1/2 = 1
ですよね。だから
{(-1)^2}^1/2 = 1
になるはずですけど指数法則を使うと
{(-1)^2}^1/2 = (-1)^2*1/2 = (-1)^1 = -1
になってしまいます。これはなぜなんでしょうか。
わかりにくい書き方で申し訳ないんですが教えてください。

回答No.1

bgm38489 · ベストアンサー

指数法則には、a>0,b>0，r,sは実数のときという前提があります。
http://w3e.kanazawa-it.ac.jp/math/category/sisuu-taisuu/henkan-tex.cgi?target=/math/category/sisuu-taisuu/sisuuhousoku.html

補足

それって証明する方法はないですかね？
グラフとか用いたり。

回答No.3

bgm38489

aが負の数だと、偶数乗のとき正になる、奇数乗のとき負になる。aが正の数だと、どちらも（というか実数である限り）正の数。
このことから、（－１）を２乗（偶数乗）して正の数にしてからから１／２乗するのと、２＊（１／２）＝１乗（奇数乗）するのとでは、答えが正負異なる。ゆえに、aが負の数では、指数法則は成り立たない。
それゆえ、前提条件にa＞０がある―こんなとこでよろしいでしょうか？

回答No.2

noname#101087

「実数の範囲」では負数の非自然数-乗を「うまく定義(well-define)」できない、ということでしょうかね。

まず、
　{(-1)^2}^(1/2) = 1
になるのは不自然。もとの -1 へ戻って欲しい。

また「累乗」演算が可換だとすると、
　{(-1)^2}^(1/2) = {(-1)^(1/2)}^2
ですが、(-1)^(1/2) のところで行き止まり。

複素数の範囲なら、
　-1 = 1*e^(iπ)
なので、
　(-1)^2 = (1^2)*e^(i2π) = 1
だから、
　{(-1)^2}^1/2 = {(1^2)*e^(i2π)}^(1/2) = 1*e^(iπ) = -1

…要領を得ずゴメン。