クーロンの法則に関して

質問

最近電磁気学に興味があります。しかしクーロンの法則でいきなりつまずいています。

x-y平面上に2点A(-a,0)B(a,0)にそれぞれ+pQ,+Qの点電荷がある。ただしp>1とする。クーロンの法則の比例定数をkとする。このときx軸上で無限遠以外にも電界が0になる点がある。その時のx座標の値をもとめよ。

という問題がありますがさっぱりアプローチがわかりません。どなたか教えてください。

回答No.1

yokkun831 · ベストアンサー

複数の電荷がつくる電界は，それぞれの電荷が単独でつくる電界の重ね合わせになります。したがって，２つの点電荷が位置(x,0)につくる電界ベクトルの成分を求め，それらを加えた合計をゼロとするxを求めればよいのです。

(a,0)にある電荷+Qが位置(x,0)につくる電界を書けますか？

お礼

丁寧にありがとうございました。

回答No.3

noname#252183

lycaonです。
下図は、x軸の点A(-1,0)に +3[C]、点B(1,0)に +1[C]の点電荷を置いたときの等電位面φ(x,y)です。
電界 E=0 とは、等電位面が水平な場所のこと。
本図では四周の無限遠以外に、もう1ポイントあります。

この質問者様への回答は以上で十分でしょう。
以下は補足解説ですが、主に検索で辿り付いた初学者のご参考と、同じく初学者である自分の知識整理のためです。
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電界E{N/C}（=電場）はベクトル、電位φ[V] (=静電ポテンシャル）はスカラーで、Eのベクトル和はφから求める方が一般に楽。

距離r[ｍ] 離れた点電荷 Q1[C] と Q2[C] の間のクーロン力 F[N]:
　F＝ｋ・Q1・Q2/r^2、但し ｋ＝1/(4π・ε・r^2)　・・・(1)
Qが作る電界E は、Q1=Q、Q2=1[C]と置いて
　E＝ｋ・Q/r^2　・・・(2)

ある場所に電荷 q[C]を置いたら、例えば別の Qによる力 F[N] が qに働くとき、その場の電界は
（F＝q・E →）E[N/C] ＝ F/q ・・・(3)

電位φを空間微分すると電界を得る。
　E[V/m] ＝ －gradφ＝ (－∂φ/∂x, －∂φ/∂y, －∂φ/∂z)・・・(4)

下図の等電位面で、どちらかの山頂に +1[C} を載せる力 F は(1)より∞、(3)より E も∞。
つまり 2つの電荷位置が完全に重なるケース（ex.陽子に別の陽子を重ねる）はクーロン式では想定外。

図の山腹や丘陵地帯に点電荷（鋼球を想像）を置けば、下向き最大勾配（電気力線）の方向に転がり落ちる。
(4)より、電界の強さはその地点の傾斜度に等しい。つまり水平な場所の電界はゼロ。

仮に下図に固定の負の点電荷を加えれば、等電位面上で奈落の擂鉢穴になる。
面上に正電荷の鋼球を置けば穴に転がり落ち、負電荷の鋼球を置けば、山頂に駆け上がる。

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ところで本図では、無限遠以外に1個所だけ、鋼球が、「触れなば落ちん」状態ながらも静止できる場所がある。
その場所ではｘ軸方向はφの極小値（－∂φ/∂x＝0）、ｙ軸方向はφの極大値（－∂φ/∂y＝0）となっており、(4)より電場はゼロになる。

この点の座標の求め方：
点ｒ<i>に点電荷q<i>があるとき、任意の点ｒの電位は「重ね合わせの原理」で

　φ(r)=ｋ・Σ{q<i>/｜r-r<<i>｜}・・・(5)
r,r<i>はベクトル、<>は添字。

図は領域全点(x,y)につき r=(x^2+y^2)^0.5 を(5)に代入しφ(x,y)を算出。

なお、多電荷系で電場エネの総計は、全電荷総当りの合計。
U＝ｋ・ΣΣ{q<i>q<j>/r<i,j>} (i≠j)・・・(6)

しかし電位の計算時には、最初からある各電荷同士が作る電場エネは無視し、電位計算のため付け加える仮想電荷+1C と、最初からある全部の電荷間だけを計算し、(5)のΣを取る。（下式で、点(-a,0)と(a,0)間のφは計算しない。）

本題ではｘ軸上だけ考え、φ(x)＝ｋ{pq/(a＋x) ＋ q/(a－x)}
E＝－dφ/dx＝0　から、E(x) の極小を与える x が求まる。図(a=1、p=3)では x=0.27　でした。

お礼

なるほど。丁寧な図で少しイメージできました。ありがとうございました。

回答No.2

2009matu

電界とはその点に+1Cの電荷を置いた時に他の電荷がその+1Cに及ぼすクーロン力のベクトル和だから
X軸上の+ｒの点が電界０の点とするとそこに+ｐＱが作る電界と+Ｑが作る電界のベクトル和を　０としてｒを求めればよいのでは。
　蛇足ながらX軸上以外はY成分が残り、電界は0にならない。