高校数学における三角関数の問題

質問

△ＡＢＣにおいてＡＢ＝３、ＢＣ＝２であり、∠Ｃ＝２∠Ｂをみたすものとする。このとき、ＡＣの長さを求めよ。

この問題を余弦定理で解いたところ答えが２と√１０ー１の二つでてしまいました。正解は後者の方なんですが、なぜ２でないのかよく分かりません、教えてください。

回答No.2

sono0315 · ベストアンサー

2倍の角の方を2等分するとそのうえ側のほうが全体の三角形と
相似になるので、辺の比から余弦、正弦定理を使わずにだせます。

お礼

先ほどはすいません、ちょっと慌ててしまって。

こんな方法もあるんですね。ありがとうございました。

回答No.4

info22

余弦定理だけ使って解いてみると
∠Bについて余弦定理を適用
(9+4-x^2)/12=cos(B) …(1)
∠C（=2∠B)について余弦定理を適用
(x^2+4-9)/(4*x)=cos(2B)=2*(cos(B))^2-1　…(2)
ここでxが三角形の一辺である為の条件
3-2<x<3+2　→ 1<x<5 …(3)
(1)のcos(B)を(2)に代入して式を整理すると
x^5-26x^3-18x^2+97x+90=0 …(▼)
(x-5)(x+1)(x+2)(x^2+2*x-9)=0
(3)の条件から
(x-5)(x+1)(x+2)≠0…(●)なので
x^2+2*x-9=0
x>0 …(◆)なので
x=-1+√10　…(◎)

> 答えが２と√１０ー１の二つでてしまいました。
> 正解は後者の方なんですが、なぜ２でないのかよく分かりません
答えの2は(▼)に含まれていません。

(▼)を解く過程で(▼)の解の内、条件に適さない解として
(●)でx=5,x=-1,x=-2が除外され、（◆)で　-1-√10が除外されて
残った （◎）の「√10 -1」だけが (3)の条件を満たしていて
解となります。

計算過程が書いてないので　2　がなぜ出てきたのかチェックできません。
補足に計算過程を上述の回答にならって書いてみて下さい。
チェックして見ましょう。

お礼

確かに間違ってます。チェックしていただきありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

sono0315

ちなみに比の式は
x:3=z:x　→3z=x^2
x:3=y:2　→3y=2x
z:x=y:2　→xy=2z

あと2倍の方の角を2等分したので下側は二等辺三角形なので
3-z=y

この4つを連立させると簡単にxが出せます

回答No.1

mister_moonlight

∠Ｃ＝2θ、∠Ｂ＝θ、ＡＣ＝xとすると、∠Ａ＝π-3θであるから、正弦定理より、x/sinθ＝3/sin2θ＝2/sin（π-3θ）＝2/sin3θ。
つまり、3＝2xcosθ　‥‥(1)　又、2sinθ＝xsin3θであるから、2＝x（4cos＾2θ-1）‥‥(2)
(1)を(2)に代入して、x＾2＋2x-9＝0であるが、x＞0より、x＝√10-1.
但し、三角形の成立条件から、1＜x＜5　であるが、これも満たす。

お礼

ありがとうございました。

補足

なるほど正弦定理を使うと理解することができました。でもなんで余弦定理だと駄目なんでしょうか？