２段キャリアプロファイルを持つPN接合の空乏層幅の求め方

質問

半導体構造は、初心者なのですが、
　SiのP型基板にリン(P)を２回注入したようにキャリアプロファイルが、２段になっている場合の空乏層幅と容量を求めたいと考えています。
　この場合、教科書に乗っている階段接合や傾斜接合では解けないのではないかと考えています。
　何か良い方法を教えてください。
　お金がないので、TCAD等の高価なシミュレーターを使わないで１次元の問題が解けるソフトなどがあれば教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

semikuma · ベストアンサー

そうです。だから汎用的になるよう、微分で書きました。
今なら、Mathematicaのような数学ソフトがあれば簡単ですね。
(20万円以上するけど)

キャリアプロファイルによっては、必ずしもPN接合界面で電界が最大とはならないのでご注意を。

尚、4番目の式は不要だし間違っているので、忘れてください。
(いかん、寝ぼけている。)

お礼

ありがとうございます。
Mathematicaは無いですけど、Maximaで計算します。
大変参考になりました。

回答No.2

semikuma

おっと、お恥ずかしい。
20年以上前にBASICで似たようなプログラムを組んだことがありますが、昔のことなので微分の階数を間違えていました。
次のように訂正します。

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1次元でよければ、ソフトを買うまでもなく簡単にプログラムを組むことができます。

　電界　E＝dV/dx
　　　　dE/dx＝ε・q・Nd　　　V：電圧　x:距離　Nd：キャリア濃度
　容量　C＝dQ/dV　　　　　　　Q：空乏層内の電荷の量
　　　→dQ＝C・dV＝E・dx　　　q：電荷　ε：半導体の誘電率

つまり電界分布のグラフを書くと、PN接合界面を最大として傾きε・q・Ndで低下し、空乏層の端で0となります。
この電解値を積分した値が電圧となります。
キャリア濃度が一定の場合、積分は単なる三角形や台形の面積を求めことになるので、小学生でもできます。

外部電圧がない場合は、この積分値と内蔵電圧(≒バンドギャップ)が一致する幅まで空乏化します。
従って、二段階程度なら方程式を立てて解くこともできますが、より汎用的には、挟み撃ち方なりニュートン法なりで空乏層の端を求めます。

また空乏層内のキャリア濃度を積分して電圧で割れば、容量が算出できます。

お礼

ご回答、ありがとうございます。
　キャリア濃度プロファイルは、イオン注入や熱拡散のように指数関数的に変化していますが、電界分布のグラフを作れば、ご回答の方法で空乏層幅を求められるのでしょうか？

回答No.1

semikuma

1次元でよければ、ソフトを買うまでもなく電卓でも計算できます。
　電界　E＝dV/dW＝ε・q・Nd　 V：電圧　W:空乏層幅
　容量　C＝dQ/dV　　　　　　　Q：空乏層内の電荷の量
　　　→dQ＝C・dV＝E・dW　　　q：電荷素量　ε：半導体の誘電率　Nd：ドナー濃度

つまり電界(電圧の変化率)はキャリア濃度に比例し、電位分布のグラフを書くと、キャリア濃度が一定の場合、電位は表面の印加電圧V0から傾きEで低下し、空乏層の端で0となります。
従って、先ず1段目と2段目の境界の電位を出し、そこから電位0となる距離を算出すると、空乏層幅が求まります。
また空乏層内のキャリア濃度を積分して電圧で割れば、容量が算出できます。