夏休みの宿題でどうしてもわからない部分があります。円と直線と三角関数の問題五問です。

質問

夏休みの宿題の数学プリントで、五問だけわからないところがあります。本来こう言うことは自力で調べて問題を解くことが一番良いとは思っているのですが、教科書やノートをじっくり読んだり、ネットで調べたりしても、どうしても解き方がわからないのです……。

1、円x^2+y^2=1と直線y=mx+2が2点で交わるように、mの値の範囲を定めよ。
2、点(1,3)から円x^2+y^2=1にひいた接戦の方程式を求めよ。
3、直線3x-2y-1=0について、次のことを示せ。
(1)原点と点(1,5)とは同じ側にある。(2)2点(1,3),(2,-1)は反対側にある。
4,、次の等式を証明せよ。
cosθ/1-sinθ+cosθ/1+sinθ=2/cosθ

回答No.2

mister_moonlight · ベストアンサー

何れも、教科書レベルの基本的問題。
但し、接線だからといって、判別式に拘ると、計算が煩い場合が多いから、できるだけsimpleに。。。。。。ｗ

＞1、円x^2+y^2=1と直線y=mx+2が2点で交わるように、mの値の範囲を定めよ。

2点で交わるとは、異なる2点という意味で、接する場合（重解）は除外する。

原点（0、0）と直線：mx-y＋2＝0との距離が、円の半径である1より小さければよいから、点と直線との距離の公式より、2/√（m＾2＋1）＜1　→　｜m｜＞√3

＞2、点(1,3)から円x^2+y^2=1にひいた接戦の方程式を求めよ。

x＝1は明らかに接線の１つ。
点（1、3）を通って、軸に平行でない直線をy＝m（x-1）＋3とする。つまり、mx-y+3-m＝0.　これが円に接するから、同じく原点と直線との距離＝円の半径＝1であるから、点と直線との距離の公式から、｜3-m｜＝√（m＾2＋1）→　m＝4/3.
以上から、接線の方程式は、x＝1、y＝m（x-1）＋3＝4x/3+5/3

＞3、直線3x-2y-1=0について、次のことを示せ。
(1)原点と点(1,5)とは同じ側にある。(2)2点(1,3),(2,-1)は反対側にある。

教科書に“正領域・負領域”というのが載ってるだろう。その知識が必要。

f（x、y）＝3x-2y-1とする。
f（0、0）＝-1.　f（1、5）＝-15、f（1、3）＝-4.　f（2、-1）＝7.
よって、f（0、0）*f（1、5）＞0、f（1、3）*f（2、-1）＜0　であるから、題意の通り。

＞4,、次の等式を証明せよ

これは通分するだけ。1-（sinθ）＾2＝（cosθ）＾2　に注意。

お礼

mister_moonlightさんの回答と教科書の内容を照らし合わせて考えてみたら、問題を解く手順がよく理解できました。詳しい解説、ありがとうございます。

回答No.1

gohtraw

１．ｙ＝ｍｘ＋２をもう一つの式に代入するとｘの二次方程式になるのでこれが二つの解を持つ条件を求める。
２．接線の式をｙ＝ａｘ＋ｂとおくと、
　　（１）この線は（１，３）を通る→ａとｂの関係が判る
　　（２）ｙ＝ａｘ＋ｂをｘ＾２＋ｙ＾２＝１に代入するとｘの二次方程式になり、これは重解をもつ
３．原点（０，０）の場合を書くと
３ｘ－２ｙ－１＝０にｘ＝０を代入するとｙの値は０よりも大きい？それとも小さい？他の点についても同じことをして直線のどちら側にあるか調べる
４、左辺の分母の（１－ｓｉｎθ）や（１＋ｓｉｎθ）は（１＋ｓｉｎθ）や（１ーｓｉｎθ）をかけると１－（ｓｉｎθ）＾２＝（ｃｏｓθ）＾２になる。分母に何かをかけたら分子にも同じものをかけるのを忘れないこと。

以上、ヒントだけですが。

お礼

特に最後の問題のヒントはとても助かりました。ありがとうございます。