三角関数の問題です。教えて下さい。

質問

関数ｙ=2cos3Θについて、次の問いに答えよ。ただし0≦Θ≦2πとする。

(1)この関数の周期を求めよ。

(2)ｙ=2となるΘの値を求めよ。

(3)ｙ=sinΘとｙ=2cos3Θのグラフより、方程式sinΘ=2cos3Θを満たすΘの個数を求めよ。

の3問です。

いとこに渡された問題なのですが、数学から離れてはや数年…すっかりやり方を忘れてしまいました。

参考書を(もっているものを)広げてみて、試みてはみたものの、分かりませんでした。

もし、分かる方がいらっしゃいましたら、教えて下さい。

お願いします。

回答No.2

ferien · ベストアンサー

>関数ｙ=2cos3Θについて、次の問いに答えよ。ただし0≦Θ≦2πとする。

>(1)この関数の周期を求めよ。
cosΘの周期は、0≦Θ≦2πなので、0≦3Θ≦2πとおいてみます。
これより、周期は、0≦Θ≦2π/3　……cosΘの1/3の周期です。

>(2)ｙ=2となるΘの値を求めよ。

（１）より、0≦Θ≦2π/3のとき、－１≦cos3Θ≦１、－２≦2cos3Θ≦２　の範囲です。

0≦Θ≦2πだから、3Θは、0≦3Θ≦6π　の範囲で考えることができます。

2cos3Θ＝２より、cos3Θ＝１、これは範囲内にあるから解にできる。

3Θ＝０，２π，４π、６π（0≦3Θ≦6πだから）
よって、Θ＝０，(2/3)π，(4/3)π，２π　これらは、0≦Θ≦2πの範囲にあるから解にできる。　

>(3)ｙ=sinΘとｙ=2cos3Θのグラフより、方程式sinΘ=2cos3Θを満たすΘの個数を求めよ。

グラフを描かないと確かめられませんが、２つのグラフの交点の個数を数えます。

ｙ=2cos3Θは、周期が0≦Θ≦2π/3，－２≦2cos3Θ≦２　です。
Θ＝０、2π/3のとき、ｙ＝２
Θ＝（1/6)π，(1/2)πのとき、ｙ＝０
Θ＝(1/3)πのとき、ｙ＝－２になります。　
グラフは、２から－２まで下がり－２から２まで上がって１周期です。

0≦Θ≦πの範囲では、３個の点と交わります。
だから、0≦Θ≦2πの範囲では、６個

よって、方程式sinΘ=2cos3Θを満たすΘの個数　６個

お礼

詳しくありがとうございます。本当にありがとうございました。

回答No.1

gohtraw

（１）
Θの係数が３ということでしょうか？係数が１である２ｃｏｓΘのばあい、Θが０から２πまで変化すると単位円の動径は１周しますが、３Θだと３周します。従って２ｃｏｓ（３Θ）の周期は２ｃｏｓΘの１／３になります。

（２）
２ｃｏｓ（３Θ）＝２
ｃｏｓ（３Θ）＝１
３Θ＝０、２π、４π、６π
Θ＝０、２π／３、４π／３、２π

（３）
ｙ＝２ｃｏｓ（３Θ）のグラフは、ｙ＝ｃｏｓΘのグラフをｘ軸方向に１／３に圧縮し、ｙ軸方向に２倍に拡大したものです。

補足

恐らく3は係数だと思いますが…自信がありません。