因数定理？の内容かなあ…

質問

http://www.nn.iij4u.or.jp/~hsat/misc/math/tgzero.html
の一番下の方に書いてあることによると、
「f(x) = ((x - a)^n)*Q(x), x = a は Q(x) の近傍で正則,
Q(a)≠ 0, 且つ Q(x) は少なくとも一回微分可能」
と書いてあったのですが、こうなるためのf(x)が少なくとも
満たしている条件とはどのようなものなのでしょうか？
http://www.pa.airnet.ne.jp/kondo/bukaitusin99.pdf
の1ページ目によれば、f(x)は多項式である必要は無いそうですが。
また、Q(x)は、x=aのとき存在するのでしょうか？

また、f(x)を一回微分可能とするとき、
f(x)=((x - a)^2)*Q(x) となったとすると、
Q(x)は少なくともどのような条件を満たすものになるのでしょうか？
x=aのときも、Q(x)は定義されるとすると、これは可能でしょうか？

回答No.3

arrysthmia

推敲:
2次の接触から、差の
3階微分可能性は出てきません。

回答No.2

arrysthmia

微分係数の定義からして、
f(a) = g(a) かつ f’(a) = g’(a) は、
f(x) - g(x) = o( (x - a)^1 ) と同値です。
（ o( ) は、ランダウのスモール・オー。）

y→0 での O( ) と o( ) に関して、
o( y^n ) ⊂ O( y^n ) ⊂ o( y^(n+1) )
が成り立ちますから、
f(x) - g(x) = O( (x - a)^2 ) も言えます。

o( y^n ) ≠ O( y^n ) ≠ o( y^(n+1) )
ですから、No.1 に書いた接触性から
微分可能性は出てきません。

回答No.1

arrysthmia

そのリンク先、自信満々に変なことが書いてありますね。

f(x) と g(x) が x = a で n次以上の接触をする とは、
f(x) - g(x) = O( (x - a)^n ) であること を言います。
O( ) は、ランダウの記号です。
f や g は多項式に限りません。

f(x) - g(x) = Q(x) ・ (x-a)^n と書くと、
n次以上の接触をする条件は、limsup[x→a] | Q(x) | < ∞。
丁度 n次の接触をする条件は、0 < limsup[x→a] | Q(x) | < ∞ です。
Q に微分可能性などを仮定するのは、筋違いだと思います。

お礼

回答ありがとうございます。

補足にさらに聞きたいことを書きましたので、
よろしければ回答願います。

補足

>>f(x) と g(x) が x = a で n次以上の接触をする とは、
>>f(x) - g(x) = O( (x - a)^n ) であること を言います。

ということは、f(a)=g(a)かつf’(a)=g’(a)であれば、
f(x) - g(x) = O( (x - a)^2 ) となるということでしょうか？